23、（8分）在矩形纸片ABCD中，AB?33，BC?6，沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D落在点Q处，AD与PQ相交于点H，?BPE?30． （1）求BE、QF的长； （2）求四边形PEFH的面积．
24、（本小题10分）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①AF=DE，②AF⊥DE（不须证明）．
（1）如图②，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF，
则上面的结论①、②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”） （2）如图③，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线
上，且CE=DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）如图④，在（2）的基础上，连接AE和EF，若点M、N、P、Q分别为AE、
EF、FD、AD的中点，请先判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种，并写出证明过程．
?
25、（本题12分）如图，四边形ABCD位于平面直角坐标系的第一象限，B、C在x轴上，A点函数y?轴，AD∥x轴，B（1，0）、C（3，0）。 ⑴试判断四边形ABCD的形状。
⑵若点P是线段BD上一点PE⊥BC于E，M是PD的中点，连EM、AM。 求证：AM=EM
⑶在图⑵中，连结AE交BD于N，则下列两个结论：
2x上，且AB∥CD∥y
①
BN?DMMN值不变；②
BN2?DM22MN的值不变。其中有且仅有一个是正确的，请选择正确的结论证明并求其
值。
参考答案：
1、C 2、Ｂ 3、Ｄ 4、Ｄ 5、B 6、Ｃ 7、Ｃ 8、B 9、C 10、A 11、D 12、D 13、直线过AC与BD交点或经过
AD和BC的中点或经过A，C两点等 14、23或43 15、(1)(2)(6) (3)(4)(5)[或(3)(4)(6)] 16、8 17、（1）甲 ∴EF√ 乙 ×。（2）证明（1）中对甲的判断：连接EF、FG、GH、HE，∵E、F分别是AB、BC的中点，
是△ABC的中位线．∴EF∥AC，EF?12AC，同理，HG∥AC，HG?12AC，∴EF∥HG，
EF?HG．∴四边形EFGH是平行四边形．
（3）类似于（1）中的结论甲、乙都成立（只对一个给2分）． 18、（1）如图所示：
（2）如图所示：
19、（1）∵D、E、F分别是BC、AC、AB边上的中点，∴DE∥AB，EF∥BC，∴四边形BDEF是平行四边形．又DE?中点
① ② 中点 ③
①
② ③
② ① 中点 ③
中点
中点
⑥
① ⑤ ③ ④ ② ⑥
④ 中点
⑤ 12AB，EF?12BC，且AB?BC，∴DE?EF，∴四边形BDEF是菱形．另解： ∵D、E、
12AB，EF?12BC，又∵AB?F分别是BC、AC、AB边上的中点，∴DE?BC，
BC，∴DE?EF?BF?BD，∴四边形BDEF是菱形．（2）∵AB?12cm，F为
22AB的中点，∴BF?6cm， ∴菱形BDEF的周长为：4?6?24cm． 20、证明:⑴由题意，?EFB?＝?EFB，∵BE∥FG，∴?EFB?＝?BEF， ∴?BEF=?EFB， ∴BE＝BF，同理 BF＝FG，∴BE=FG，∴四边形BEFG是平行四边
形. ⑵当∠BFE =60°时,△BEF为等边三角形，∴BE=EF，∴平行四边形BEFG是菱形. 21、（1）证明：∵BF＝BE CG＝CE ∴BCAD
∴BD?BF?1AB?112FG 又∵H是FG的中点 ，∴FH＝
12FG ∴BCFH 又∵四边形ABCD是平行四边形，∴ADBC ∴
FH ∴四边形AFHD是平行四边形-。 （2）∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAE＝600，∴∠BAE＝∠DCB＝600 又
∵∠DCE＝200 ，∴∠ECB＝∠DCB－∠DCE＝600－200＝400 ， ∵CE=CB ，∴∠CBE＝∠ECB＝
12(1800－∠ECB)＝
12(1800－400)＝700 。
????1??2?30． 22、?AD∥BC，?ADC?120，??DCE?60.又?CA平分?DCB，??CAD?30，?AD?DC．?AB?DC，??BAD??ADC?120???，??BAC?90?．在
Rt△ABC中，?2??BE?EC?
3，0?2AB?BC．?E为BC的中点，
?A Ｄ A．D?四边形ABED为平行四边形．?△DCE与四边形
ABED面积的比为1:2．
Ｂ ?2 E
1 C
23、（1）设BE?x，在Rt△PBE中，?BPE?30，∴PE?2x，
PB?3x．由题意得EC?PE?2x．∵BE?EC?BC，∴3x?6，x?2，即BE?2．∴EC?4，
PB?23．∴PA?BA?PB?3．在Rt△APH中，?APH?60?，∴AH?3，
PH?23．∴HQ?PQ?PH?33?23?121523．在Rt△HQF中，?QHF?30，∴QF?1． （2）
?∵S梯形FECD?(1?4)?33?3，
S△HFQ?12?1?3?32，
∴S四边形PEFH?S梯形PEFQ?S△HFQ?S梯形FECD?S△HFQ?1532?32?73．
24、（1）结论①、②成立-。（2）结论①、②仍然成立 理由为：∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝DC＝CB 且∠ADC＝∠DCB＝900，在Rt△ADF和Rt△ECD中 AD＝DC ∠ADC＝∠DCB CE＝DF ，∴Rt△ADF≌ Rt△ECD（SAS）， ∴AF＝DE ∴∠DAF＝∠CDE，∵∠ADE＋∠CDE＝900，∴∠ADE＋∠DAF＝900 ， ∴ ∠AGD＝900 ∴AF⊥DE。（3）结论：四边形MNPQ是正方形。证明：∵AM＝ME AQ＝QD ∴MQ
12DE ，同理可证： PN
12DE MN
12AF PQ
12AF ，
∵AF＝DE ∴MN＝NP＝PQ＝QM ，∴四边形MNPQ是菱形， 又∵AF⊥DE ∴∠MQP＝∠QMN＝∠MNP＝∠NPQ＝900 ，∴四边形MNPQ是正方形。
25、⑴∵AB∥CD∥y轴，AD∥x轴，∴四边形ABCD为矩形，当x=1时y=2 AB=2 BC=3－1=2，∴AB=BC ，∴四边形ABCD是正方形。 ⑵证明：延长EM交CD的延长线于G，连AE、AG，PE∥GC，∴∠PEM=∠DGM，又∵∠PME=∠GMD，PM=DM，∴△PME≌△DMG，∴EM=MG PE=GD，∵PE=BE，∴BE=GD，在Rt△ABE与Rt△ADG中，AB=AD BE=GD ，∠ABE=∠ADG=900，∴Rt△ABE≌Rt△ADG， ∴AE=AG ∠BAE=∠DAG， ∴∠GAE=900 ，∴AM=
12EG=EM 。
⑶
BN2?DM22MN的值不变，值为1。理由如下：
在图2的AG上截取AH=AN，连DH、MH，∵AB=AD AN=AH，由
⑵知∠BAN=∠DAH，∴△ABN≌△ADH，∴BN=DH ，∠ADH=∠ABN=450，∴∠HDM=9，∴HM2=HD2+MD2 ，由⑵知∠NAM=∠HAM=450，又AN=AH AM=AM，∴△AMN≌△AMH，∴MN=MH ，∴MN2=DM2+BN2，即
BN2?DM22MN=1 。
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