2015年四川省高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．（5分）设集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（ ）
A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3} 2．（5分）设i是虚数单位，则复数i3﹣=（ ） A．﹣i B．﹣3i C．i
D．3i
3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
4．（5分）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ） A．y=cos（2x+C．y=sin2x+cos2x
） B．y=sin（2x+D．y=sinx+cosx
=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两
）
5．（5分）过双曲线x2﹣
条渐近线于A、B两点，则|AB|=（ ） A．
B．2 C．6 D．4
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6．（5分）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）
A．144个 B．120个 C．96个
D．72个
|=6，|
|=4，若点M、N满足
，
7．（5分）设四边形ABCD为平行四边形，|
，则
=（ ）
D．6
A．20 B．15 C．9
8．（5分）设a、b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的（ ） A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
9．（5分）如果函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[
]上单调递减，那么mn的最大值为（ ）
A．16 B．18 C．25 D．
10．（5分）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（ ）
A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）在（2x﹣1）5的展开式中，含x2的项的系数是 （用数字填写答案）．
12．（5分）sin15°+sin75°的值是 ．
13．（5分）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=ekx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k、b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是 小时．
14．（5分）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点，设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cosθ的最大值为 ．
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15．（5分）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=
，n=
．现有如下命题：
①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；
②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0； ③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n； ④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n． 其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（12分）设数列{an}（n=1，2，3，…）的前n项和Sn满足Sn=2an﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）记数列{
}的前n项和为Tn，求使得|Tn﹣1|
成立的n的最小值．
17．（12分）某市A、B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．
（Ⅰ）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望．
18．（12分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．在正方体中，设BC的中点为M、GH的中点为N．
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（Ⅰ）请将字母F、G、H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）； （Ⅱ）证明：直线MN∥平面BDH； （Ⅲ）求二面角A﹣EG﹣M的余弦值．
19．（12分）如图，A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角． （Ⅰ）证明：tan=
；
（Ⅱ）若A+C=180°，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tan+tan+tan+tan的值．
20．（13分）如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0，1）
的动直线l与椭圆相交于A、B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2
．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（14分）已知函数f（x）=﹣2（x+a）lnx+x2﹣2ax﹣2a2+a，其中a＞0． （Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在区间（1，+∞）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．
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2015年四川省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．（5分）设集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（ ）
A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3} 【分析】求解不等式得出集合A={x|﹣1＜x＜2}， 根据集合的并集可求解答案．
【解答】解：∵集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}， ∴集合A={x|﹣1＜x＜2}， ∵A∪B={x|﹣1＜x＜3}， 故选：A．
【点评】本题考查了二次不等式的求解，集合的运算，属于容易题．
2．（5分）设i是虚数单位，则复数i3﹣=（ ） A．﹣i B．﹣3i C．i 【分析】通分得出
D．3i
，利用i的性质运算即可．
【解答】解：∵i是虚数单位，则复数i3﹣， ∴
=
=
=i，
故选：C．
【点评】本题考查了复数的运算，掌握好运算法则即可，属于计算题．
3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（ ）
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