在正方体中，DO⊥平面AEGC， 则=
=（1，1，0）是平面AEG的一个法向量，
＞=
=
=．
=
．
则cos＜
二面角A﹣EG﹣M的余弦值为
【点评】本题主要考查简单空间图形的直观图，空间线面平行的判定和性质，空间面面夹角的计算，考查空间想象能力，推理能力，运算求解能力．
19．（12分）如图，A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角． （Ⅰ）证明：tan=
；
（Ⅱ）若A+C=180°，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tan+tan+tan+tan的值．
【分析】（Ⅰ）直接利用切化弦以及二倍角公式化简证明即可．
（Ⅱ）通过A+C=180°，得C=180°﹣A，D=180°﹣B，利用（Ⅰ）化简tan+tan+tan+tan=
，连结BD，在△ABD中，利用余弦定理求
出sinA，连结AC，求出sinB，然后求解即可．
【解答】证明：（Ⅰ）tan===．等式成立．
（Ⅱ）由A+C=180°，得C=180°﹣A，D=180°﹣B，由（Ⅰ）可知：tan+tan+tan+tan=
=
第21页（共26页）
，连结BD，在△ABD中，有BD2=AB2+AD2﹣2AB?ADcosA，AB=6，BC=3，
CD=4，AD=5，
在△BCD中，有BD2=BC2+CD2﹣2BC?CDcosC， 所以AB2+AD2﹣2AB?ADcosA=BC2+CD2﹣2BC?CDcosC， 则：cosA=于是sinA=
=
=，
=
．
=
=
． =
，
=．
连结AC，同理可得：cosB=于是sinB=
=
所以tan+tan+tan+tan=
【点评】本题考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理．简单的三角恒等变换，考查函数与方程的思想，转化与化归思想的应用．
20．（13分）如图，椭圆E：
的离心率是
，过点P（0，1）
的动直线l与椭圆相交于A、B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2
．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）通过直线l平行于x轴时被椭圆E截得的线段长为2是
及离心率
，计算即得结论；
第22页（共26页）
（Ⅱ）通过直线l与x轴平行、垂直时，可得若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只能是（0，2）．然后分直线l的斜率不存在、存在两种情况，利用韦达定理及直线斜率计算方法，证明对任意直线l，均有
即可．
，
【解答】解：（Ⅰ）∵直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2∴点（
，1）在椭圆E上，
，
又∵离心率是
∴，解得a=2，b=，
∴椭圆E的方程为：+=1；
恒成立．
（Ⅱ）结论：存在与点P不同的定点Q（0，2），使得理由如下：
当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C、D两点， 如果存在定点Q满足条件，则有
=
=1，即|QC|=|QD|．
∴Q点在直线y轴上，可设Q（0，y0）．
当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M、N两点， 则M、N的坐标分别为（0，又∵
=
，∴
）、（0，﹣=
），
，解得y0=1或y0=2．
∴若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只能是（0，2）． 下面证明：对任意直线l，均有
．
当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立． 当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y=kx+1， A、B的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），
第23页（共26页）
联立，消去y并整理得：（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，
∵△=（4k）2+8（1+2k2）＞0， ∴x1+x2=﹣∴
+
=
，x1x2=﹣=2k，
，
已知点B关于y轴对称的点B′的坐标为（﹣x2，y2）， 又kAQ=
=
=k﹣
，kQB′=
=
=﹣k+
=k﹣
，
∴kAQ=kQB′，即Q、A、B′三点共线， ∴
=
=
=
．
恒成立．
故存在与点P不同的定点Q（0，2），使得
【点评】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于难题．
第24页（共26页）
21．（14分）已知函数f（x）=﹣2（x+a）lnx+x2﹣2ax﹣2a2+a，其中a＞0． （Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在区间（1，+∞）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．
【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的定义域，把函数f（x）求导得到g（x）再对g（x）求导，得到其导函数的零点，然后根据导函数在各区间段内的符号得到函数g（x）的单调期间；
（Ⅱ）由f（x）的导函数等于0把a用含有x的代数式表示，然后构造函数φ（x）=
x2
，由函数零点存，u（x）=x﹣1﹣
在定理得到x0∈（1，e），使得φ（x0）=0．令
lnx（x≥1），利用导数求得a0∈（0，1），然后进一步利用导数说明当a=a0时，若x∈（1，+∞），有f（x）≥0，即可得到存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在区间（1，+∞）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解． 【解答】解：（Ⅰ）由已知，函数f（x）的定义域为（0，+∞）， g（x）=
，
∴
当0＜a＜时，g（x）在在区间当a
．
上单调递增，
上单调递减；
时，g（x）在（0，+∞）上单调递增．
=0，解得
x2
．
，
，
（Ⅱ）由令φ（x）=
则φ（1）=1＞0，φ（e）=
故存在x0∈（1，e），使得φ（x0）=0． 令
，u（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），
第25页（共26页）
相关推荐：
loading