【例3】在△ABC中,已知A=8,B=7,B=60°,求C及S△ABC
分析:根据已知条件可以先由正弦定理求出角A,再结合三角形内角和定理求出角C,再利用正弦定理求出边C,而三角形面积由公式S△ABC=
1acsinB可以求出2
若用余弦定理求C,表面上缺少C,但可利用余弦定理b2=c2+a2-2cacosB建立关于C的方程,亦能达到求C的目的
下面给出两种解法
解法一:由正弦定理得∴A1=81.8°,A2∴C1=38.2°,C2由
87?sinAsin60?
7c,得c1=3,c2 ?sin60?sinC11∴S△ABC=ac1sinB?63或S△ABC=ac2sinB?10322解法二:由余弦定理得b2=c+a2-2cacosB∴72=c+82-2×8×cco整理得c2-8c
解之,得c1=3,c2=5.∴S△ABC= [教师精讲]
11ac1sinB?63或S△ABC= ac2sinB?10322
在解法一的思路里,应注意由正弦定理应有两种结果,避免遗漏;而解法二更有耐人寻味之处,体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处,即可以用之建立方程,从而运用方程的观点去解决,故解法二应引起学生的注意
综合上述例题,要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围;已知三边求角或已知两边及其夹角解三角形,同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知两边、一角解三角形可用余弦定理解之课堂练习
1.在△ABC中
(1)已知c=8,b=3,b=60°,求A
(2)已知a=20,bB=29,c=21，求B(3)已知a=33,c=2,b=150°,求B(4)已知a=2,b=2，c=3+1,求A
解： (1)由a2=b2+c2-2bccosA，得a2=82+32-2×8×3cos60°=49.∴A
c2?a2?b2202?212?292?0.∴B(2)由cosB?,得cosB?2ca2?20?21(3)由b2=c2+a2-2cacosB,得b2=(33)2+22-2×33×2cos150°=49.∴b
b2?c2?a2(2)2?(3?1)2?222(4)由cosA?,得cosA?.∴A?2bc222(3?1)
评述:此练习目的在于让学生熟悉余弦定理的基本形式,要求学生注意运算的准确性及解题效率2.根据下列条件解三角形(角度精确到(1)a=31,b=42,c(2)a=9,b=10,c
b2?c2?a2422?272?312解：(1)由cosA?,得cosA?≈0.675 5,∴A
2bc2?42?27c2?a2?b2312?272?422?由cosB?≈-0.044 2,∴B
2ca2?31?27∴C=180°-(A+B)=180°-
b2?c2?a2102?152?92,得cosA?(2)由
2bc2?10?15∴A
c2?a2?b2152?92?102?由cosB?≈0.763 0,
2ca2?9?15∴B
∴C=180°-(A+B)=180°-
评述:此练习的目的除了让学生进一步熟悉余弦定理之外,还要求学生能够利用计算器进行较复杂的运算.同时,增强解斜三角形的能力课堂小结
通过本节学习,我们一起研究了余弦定理的证明方法,同时又进一步了解了向量的工具性作用,并且明确了利用余弦定理所能解决的两类有关三角形问题
（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； （2）余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边、一角解三角形．布置作业
课本第8页练习第1（1）、2（1）题
板书设计
余弦定理 1.余弦定理 2.证明方法(1)平面几何法余弦定理所能解决的两类问题: 已知三边求任意角;
(2)向量法 (2)已知两边、一角解三角形 4.学生练习
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