欧阳体创编 2021.02.03 欧阳美创编 2021.02.03
矩阵的定义及其运算规则
时间：2021.02.03 创作：欧阳体 1、矩阵的定义
一般而言，所谓矩阵就是由一组数的全体，在括号（）内排列成m行n 列（横的称行，纵的称列）的一个数表，并称它为m×n阵。
矩阵通常是用大写字母A 、B …来表示。例如一个m 行n 列
的
矩
阵
可
以
简
记
为
：
，
或
。即：
（2-3）
我们称（2-3）式中的为矩阵A的元素，a的第一个注脚字母
，表示矩阵的行数，第二个注脚字母j（j＝1，
2，…，n）表示矩阵的列数。
当m＝n时，则称
为n阶方阵，并用
表示。当
矩阵（aij）的元素仅有一行或一列时，则称它为行矩阵或列矩阵 。设两个矩阵，有相同的行数和相同的列数，而且它们的对应元素一一相等，即2、三角形矩阵
由i＝j的元素组成的对角线为主对角线，构成这个主对角
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，则称该两矩阵相等，记为A＝B。
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线的元素称为主对角线元素。
如果在方阵中主对角线一侧的元素全为零，而另外一侧的元素不为零或不全为零，则该矩阵叫做三角形矩阵。例如，以下矩阵都是三角形矩阵：
，
，， 。
3、单位矩阵与零矩阵
在方阵素全为零，如：
则称为对角矩阵，可记为
。如果在对角
中，如果只有
的元素不等于零，而其他元
矩阵中所有的彼此都相等且均为1，如： ，则称
为单位矩阵。单位矩阵常用E来表示，即：
当矩阵中所有的元素都等于零时，叫做零矩阵，并用符号“0”来表示。 4、矩阵的加法
矩阵A＝（aij）m×n和B＝（bij）m×n相加时，必须要有相同
的行数和列数。如以C＝（cij）m ×n表示矩阵A及B的和，则
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有
：
式中：之
。即矩阵C的元素等于矩阵A和B的对应元素
和
。
由上述定义可知，矩阵的加法具有下列性质（设A、B、C都是
m×n
矩
阵
）
：
（1）交换律：A＋B＝B＋A
（2）结合律：（A＋B）＋C＝A＋（B＋C） 5、数与矩阵的乘法
我们定义用k右乘矩阵A或左乘矩阵A，其积均等于矩阵
中的所有元素都乘上k之后所得的矩阵。如：
由上述定义可知，数与矩阵相乘具有下列性质：设A、B都是m×n矩阵，k、h为任意常数，则：
（1） k（A＋B）＝kA＋kB （2）（k＋h）A＝kA＋hA （3） k（hA）＝khA 6、矩阵的乘法
若矩阵
乘矩阵
，则只有在前者的列数等于后者的行数的元素
的计算方法定义为第一个矩阵第
时才有意义。矩阵
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