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2019年

(2)由e＝，可设椭圆E的方程为

x2

＋＝1， a2

x22y2??＋＝1，

联立?a2a2

??x＋2y－2＝0，

得6y2－8y＋4－a2＝0，

若线段AB上存在点P满足PF1＋PF2＝2a，则线段AB与椭圆E有公共点， 等价于方程6y2－8y＋4－a2＝0在y∈[0,1]上有解． 设f(y)＝6y2－8y＋4－a2，

4??a2≥，∴即?3

??4－a2≥0，

∴≤a2≤4，

故a的取值范围是≤a≤2. 8．解 (1)设P(x，y)，

A·B＝(x＋2，y)(x－2，y)

＝x2－4＋y2＝－3，

得P点轨迹(曲线C)方程为x2＋y2＝1， 即曲线C是圆．

(2)可设直线l的方程为y＝kx－2， 其一般方程为kx－y－2＝0， 由直线l与曲线C有交点， 得≤1，

得k≤－或k≥，

即所求k的取值范围是(－∞，－ ]∪[，＋∞)．

2019年

(3)由动点Q(x，y)，设定点N(1，－2)， 则直线QN的斜率kQN＝＝u，

又点Q在曲线C上，故直线QN与圆有交点， 设直线QN的方程为y＋2＝u(x－1)， 即ux－y－u－2＝0. 当直线与圆相切时，＝1， 解得u＝－，

当u不存在时，直线与圆相切， 所以u∈(－∞，－]．

9．(1)解 因为点P(，1)，所以kOP＝， 又因为AF⊥OP，－×＝－1， 所以c＝b，所以3a2＝4b2，①

又点P(，1)在椭圆上，所以＋＝1，② 联立①②，解得a2＝，b2＝. 故椭圆方程为＋＝1.

(2)解 由题意，直线AF的方程为

x

＋＝1， c

与椭圆C方程＋＝1联立， 消去y得x2－＝0， 解得x＝0或x＝， 所以点Q的坐标为(，)， 所以直线BQ的斜率为

kBQ＝＝，

2019年

由题意得＝，所以a2＝2b2， 所以椭圆的离心率e＝a ＝ ＝.

(3)证明 因为线段OP垂直于AF， 则直线OP的方程为y＝·x， 与直线AF的方程＋＝1联立， 解得两直线交点的坐标为(，)． 因为线段OP被直线AF平分， 所以点P的坐标为(，)， 由点P在椭圆上得＋＝1，

又b2＝a2－c2，设＝t(t∈(0,1))， 代入上式得4[(1－t)2·t＋t2]＝1.(*) 令f(t)＝4[(1－t)2·t＋t2]－1 ＝4(t3－t2＋t)－1，

则f′(t)＝4(3t2－2t＋1)＞0在(0,1)上恒成立， 所以函数f(t)在(0,1)上单调递增， 又f(0)＝－1＜0，f(1)＝3＞0，

所以f(t)＝0在(0,1)上有解，即(*)式有解， 故存在椭圆C，使线段OP被直线AF垂直平分

c