1992年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
dy(1)设函数y?y(x)由方程ex?y?cos(xy)?0确定,则=_____________.
dx (2)函数u?ln(x2?y2?z2)在点M(1,2,?2)处的梯度gradu
?11?xM
=_____________.
(3)设f(x)? 2???x?0,则其以2?为周期的傅里叶级数在点x??处
0?x??收敛于_____________.
(4)微分方程y??ytanx?cosx的通解为y=_____________.
?a1b1a1b2?abab21(5)设A??21???anb1anb2秩r(A)=_____________.
a1bn?a2bn??,其中ai?0,bi?0,(i?1,2,??anbn?,n).则矩阵A的
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
x2?1x1e?1的极限 (1)当x?1时,函数
x?1(A)等于2 (C)为?
? (B)等于0 (D)不存在但不为?
a(2)级数?(?1)n(1?cos)(常数a?0)
nn?1(A)发散
(C)绝对收敛 (B)条件收敛
(D)收敛性与a有关
(3)在曲线x?t,y??t2,z?t3的所有切线中,与平面x?2y?z?4平行的切线 (A)只有1条 (C)至少有3条
(B)只有2条 (D)不存在
(4)设f(x)?3x3?x2x,则使f(n)(0)存在的最高阶数n为
(A)0 (C)2 (B)1 (D)3
?1??0?????(5)要使ξ1??0?,ξ2??1?都是线性方程组AX?0的解,只要系数矩阵A为
?2???1?????(A)??212?
?20?1?(B)?? 011???01?1?? 4?2?2(D)?????011????102?(C)? ??01?1?
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
(1)求limx?0ex?sinx?11?1?xx2.
?2z(2)设z?f(esiny,x?y),其中f具有二阶连续偏导数,求.
?x?y2231?x2x?0(3)设f(x)? ,求?f(x?2)dx.
1x?0e?x
四、(本题满分6分)
求微分方程y???2y??3y?e?3x的通解.
五、(本题满分8分)
计算曲面积分??(x3?az2)dydz?(y3?ax2)dzdx?(z3?ay2)dxdy,其中?为上半
?球面z?a2?x2?y2的上侧.
六、（本题满分7分）
设f??(x)?0,f(0)?0,证明对任何x1?0,x2?0,有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2).
七、（本题满分8分）
在变力F?yzi?zxj?xyk的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面
x2y2z2???1上第一卦限的点M(?,?,?),问当?、?、?取何值时,力F所做的a2b2c2功W最大?并求出W的最大值.
八、（本题满分7分）
设向量组α1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关,问: (1)α1能否由α2,α3线性表出?证明你的结论. (2)α4能否由α1,α2,α3线性表出?证明你的结论.
九、（本题满分7分）
设3阶矩阵A的特征值为?1?1,?2?2,?3?3,对应的特征向量依次为
?1??1??1??1?????????ξ1??1?,ξ2??2?,ξ3??3?,又向量β??2?.
?3??1??4??9?????????(1)将β用ξ1,ξ2,ξ3线性表出. (2)求Anβ(n为自然数).
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)
11(1)已知P(A)?P(B)?P(C)?,P(AB)?0,P(AC)?P(BC)?,则事件A、
46B、C全不发生的概率为____________.
(2)设随机变量X服从参数为1的指数分布,则数学期望
E{X?e?2X}=____________.
十一、（本题满分6分）
设随机变量X与Y独立,X服从正态分布N(?,?2),Y服从[??,?]上的均匀分布,试求Z?X?Y的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数?表示,其中
1?(x)?2??x??e?t22dt).
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