（课标通用）2018年高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 2.3 函数的奇偶性与周期性学案 理

抽象函数的单调性一直是高考考查的难点，常出现在一些综合性问题中，需要先对所含的参数进行分类讨论或根据已知条件确定出参数的范围，再根据单调性求解或证明抽象不等式．

[典例4] 设函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)．若

f(3)＝1，且f(a)>f(a－1)＋2，求实数a的取值范围．

[思路分析]

[解] 因为f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(3)＝1， 所以2＝2f(3)＝f(3)＋f(3)＝f(9)．

又f(a)>f(a－1)＋2，所以f(a)>f(a－1)＋f(9)． 再由f(xy)＝f(x)＋f(y)，可知f(a)>f(9(a－1))． 因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，

a>0，??

a－从而有??a－?a，

，

9

解得1

8

?9?故所求实数a的取值范围为?1，?. ?8?

易错提醒

解答此类抽象不等式问题，不仅要注意函数单调性的应用，还要注意定义域的限制，以

??a>0，

保证转化的等价性．如本题中许多同学容易漏掉?

?a－?

，

而直接利用单调性得出

a>9(a－1)．