选修2-3定理概念及公式总结
第一章基数原理
1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法那么完成这件事共有 N=m1+m2+……+mn 种不同的方法 2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有N=m1×m2×……mn 种不同的方法 分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整” 3.两个计数原理的区别:
如果完成一件事，有n类办法，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事,用分类计数原理，
如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要完成所有步骤才能完成这件事，是分步问题,用分步计数原理.
4.排列:从n个不同的元素中取出m个(m≤n)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
m（1）排列数: 从n个不同的元素中取出m个(m≤n)元素的所有排列的个数.用符号An表示 m?n(n?1)(n?2)???(n?m?1) 用于计算， （2）排列数公式:Anm?或An
n!n,m?N?,m?n 用于证明。
(n?m)!??n=n!=n?n?1????3?2?1=n(n-1)! 规定0！=1 An5.组合：一般地，从n个不同元素中取出m?m?n?个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
（1）组合数: 从n个不同元素中取出m?m?n?个元素的所有组合的个数，用Cn表示
m
Anmn(n?1)(n?2)L(n?m?1)（2）组合数公式: C?m? 用于计算，
Amm!mn或Cmn?n!(n,m?N?,且m?n) 用于证明。
m!(n?m)!（3）组合数的性质：
mn?m0mmm?1?Cn?1； ②Cn ①Cn．规定：Cn . ?1＝Cn+Cnn?11n③ Cn?Cn?n ④Cn?1
6.二项式定理及其特例：
1n?1（1）二项式定理?a?b??Cn0an?Cnab???Cnran?rbr???Cnnbnn?N?
n??1,2,?,n??叫做二项式系数。 展开式共有n+1项，其中各项的系数Cnr?r??0,1rrx?L?Cnx?L?xn. （2）特例：(1?x)n?1?Cn7.二项展开式的通项公式： Tr?1?Cnran?rbr （为展开式的第r+1项） 8．二项式系数的性质：
（1）对称性：在?a?b?展开式中，与首末两端 “等距”的两个二项式系数相等,
nmn?m?Cn即Cn，直线r?n是图象的对称轴． 2（2）增减性与最大值：当r?n?12时，二项式系数逐渐增大，由对称性知它的
后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值。
当n是偶数时，在中间一项Tn?2的二项式系数C取得最大值；
2n?12nn?12nn2n当n是奇数时，在中间两项Tn?1，Tn?3的二项式系数C22，C取得最大值．
9.各二项式系数和：
1Cn0?Cn?Cn2??Cnn? 2n， （1）
（2）Cn?Cn?Cn???Cn?Cn?Cn???2024135n?1．
10.各项系数之和：（采用赋值法）
例：求解：令x?2x?3y?9的各项系数之和
?2x?3y?9?a0x9?a1x8y?a2x7y2???a9y9
?1,y?1，则有?2x?3y??a0?a1?a2???a9??2?3???1，
99故各项系数和为-1
第二章 概率
知识点：
1、随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母ξ、η等表示。
2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X所有可能的值能一一列举出来，这样的随机变量叫做离散型随机变量．
3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,..... ,xi ,......,xn X取每一个值 xi的概率p1，p2,..... , p i ,......, p n，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列
4、分布列性质① pi≥0, i =1，2，… n；② p1 + p2 +…+pn= 1． 5、二点分布：如果随机变量X的分布列为：
其中0 6、超几何分布：一般地, 设总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n(n≤N)件,这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，则它取值为m时的概率为 mn?mCMCN?MP(X?m)?(0?m?l,l为n和M中的较小的一个)， nCN7、条件概率：对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫 做条件概率.记作P(B|A)，读作A发生的条件下B的概率 8、公式： P(B|A)? P(A?B),P(A)?0.P(A) 9、相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件 叫做相互独立事件。P(B|A)?P(B) 10、n次独立重复试验：在相同条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，一般 就称它为n次独立重复试验 11、二项分布： 设在n次独立重复试验中某个事件A发生的次数设为X．如果在一次试验中某事件发生的概率是p，事件A不发生的概率为q=1-p，那么在n次独立重复试验中 ，事件A kkn?k恰好发生k次的概率是P(X?k)?Cnpq（其中 k=0,1, ……,n） 于是可得随机变量X的分布列如下： 这样的离散型随机变量X服从参数为n，p二项分布，记作X～B(n，p) 。 12、数学期望：一般地，若离散型随机变量X的概率分布为 则称E(X)?x1p1?x2p2?L?xnpn为离散型随机变量X的数学期望或均值（简称为期望）． 22213、方差:D(X)?(x1?E(X))p1?(x2?E(X))p2?L?(xn?E(X))pn叫随机变量X 的方差，简称方差。 14、集中分布的期望与方差一览： 两点分布 二项分布，X ～ B（n,p） 超几何分布N，M，n 15、正态分布： 若正态变量概率密度曲线的函数表达式为 期望 E(X)?p E(X)?np E(X)?nM N方差 D(X)?pq D(X)?npq f(x)? 1e2???(x??)22?2,x?(??,??) 的图像，其中解析式中的实数?、?是参数，且??0，?、?分别表示总体的期望与标准差． 期望为?与标准差为?的正态分布通常记作N(?,?)，正态变量概率密度曲线的函数的图象称为正态曲线。 216、正态曲线基本性质： （1）曲线在x轴的上方，并且关于直线x=?对称． （2）曲线在x=?时处于最高点，并且由此处向左、右两边无限延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状． （3）曲线的形状由?确定．?越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； ?越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中． 17、3?原则： 容易推出,正变量在区间(??2?,??2?)以外取值的概率只有4.6%,在(??3?,??3?)以外取值的概率只有0.3% 由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的. P(???,???)?68.3% P(??2?,??2?)?95.4% P(??3?,??3?)?99.7%
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