2018年上海市宝山区高考数学一模试卷和参考答案

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2018年宝山区高三一模数学参考答案

1

2

3 1 3

4 5 2

6 2 5

3}{2， 7 405 13 C

-1

8 1 14 A

(-1，+?

9 104 15 C

10

4p

16 D

11 [-2，0)U

12

，+?1

第一部分、填选 第二部分、简答题

17. 解: （1）因为长方体ABCD-A1B1C1D1, 所以点M到平面ABCD的距离就是DD1=8, 故四棱锥

M-ABCD的体积为VM-ABCD=1128. 鬃SABCDDD1=33（2）（如图）联结BC1, BM, 因为长方体ABCD-A1B1C1D1, 且M?C1D1,

所以MC1^平面BCC1B1, 故直线BM与平面BCC1B1所成角就是DMBC1,

在RtDMBC1中, 由已知可得MC1=因此, tan?MBC15. 10MC1BC1=245=1CD=2, BC1=211BB12+B1C12=45,

5, 即直线BM与平面BCC1B1所成角的正切值为10

轾轾pp3pp. 18. 解: （1）由题意可得f(x)=cosx, 故f(x)在犏，上的单调递减区间为犏，犏犏222臌臌 5

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（2）由已知可得a+b=4, Qf(C)=SDABC=11pp), \\C=, \\cosC=, 又C?(0，. 故

223133a+b2absinC=abＷ()=44223, 当a=b=2时取等号, 即DABC面积

的最大值为3, 此时DABC是边长为2的正三角形.

19. 解: （1）由已知可得an=3n-1（n?N*）, 故bn=2?3n-1（n?N*）, 所以bnbn+1=4?32n-1（n?N*）, 从而{bnbn+1}是以12为首项, 9为公比的等比数列, 故数列

{bnbn+1}的前n项和为

3n(9-1)（n?N*）. 2（2）依题意得an=2n（n?N*）, 所以bn=l(q2n+1)（n?N*）, 故cn=3+lq21-q2+(l+1)n-lq21-q2q2n

ìì?lq2?l-1??3+=0?3?2（n?N*）, 令?, 解得í（q=-<0舍去）, 因此, 存在í1-q3??2q=??l+1=0????2??(l，q)=(-1，33, 使得数列{cn}成等比数列, 且cn=3?()n（n?N*）. )24

20. 解: （1）依题意可得a=2, 半焦距c=1, 从而b2=a2-c2=3, 因此, 椭圆C的方x2y2程为+=1.

43x2(3y)2x2（2）因为点(x，3y)在C上, 所以+=1, 故轨迹G: +y2=1. 不妨设

434uuuruuury), 则PF1=(-3-x，-y), PF2=(3-x，-y). 易F1(-3，0), F2(3，0), P(x，得直线GH: x-2y+2=0, 故

uuuruuur411424, 所以当y=, 即点P的坐标为(-，)时, PF1?PF2x2+y2-3=5(y-)2-55555uuuruuur11. （或这样: 因为点P在直线GH上运动, 所以当OP^GH时, PF1×PF2取得最小值-5x2+y2取得最小值, 故x2+y2也取得

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最小值, 此时(x2+y2)min轾0-2?0=犏犏5犏臌22=424, 易得对应点为垂足P(-，), 从而, 555uuuruuurPF1×PF2的最小值为

(uuuruuurPF1?PF2)min411. ） -3=-550), 设l: x=my+1（m?R）, A(x1，（3）易得F(1，y1), B(x2，y2), 则D(4，y1),

E(4，y2),

ì?x2y2?+=1由?得(3m2+4)y2+6my-9=0, 显然D=144(m2+1)>0, 且í43??x=my+1???y1+y2=-6m3m+42, y1y2=-93m+42. 将x1=my1+1代入直线AE的方程:

(x1-4)(y-y2)=(y1-y2)(x-4), 并化简可得

my1y2+(y1+y2)+轾2y1-(y1+y2)x-5y1+(3-my1)y=0, 将y1+y2=-臌6m3m+42,

y1y2=-93m+42

代入可得m?(93m+42)-6m3m+42+(2y1+6m3m+42)x-5y1+(3-my1)y=0, 即直线

52(3m+4)y+3m(x-)+(3m2+4)(3-my1)y=0, 因为m，y1任意, 所AE的方程为2轾1犏臌255

以直线AE过定点(，0). 同理可得直线BD也过定点(，0).

22

5

综上, 当l绕F转动时, 直线AE与BD相交于定点(，0).

2

b?R）, 则Rez=a. 21. 解: （1）设z=a+bi（a，b?R, 若a30, 则f(z)=z, 由已知条件可得-a-3bi=-2+9i, Qa，ìì?a=-2?a2??, 解得í, \\z=2-3i. \\í??-3b=9b=-3???? 7

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b?R, 若a<0, 则f(z)=-z, 由已知条件可得-7a-5bi=-2+9i, Qa，ìì22????a=a=ì???7a=-27, 但a<0, 故?7舍去. \\?, 解得?ííí???99-5b=9????b=-b=-???????5?5综上, 得z=2-3i. （2）证明如下: 令tn=(f(z))n+1(f(z))n, 则tn=zn+1zn（n?N*）.

假设f(z)+于2tn+11>2, 即t1>2, 因z2n?f(z)1（n?N*）, 故tn>0（n?N*）,

是

（n?N*）, 亦即tn+1-tn2, 故t2=z+21z22骣1÷=?z+÷-2??÷桫z÷?z1z22-2>t1, 即t2>t1, 于是, -2=t1tn+1-tn>tn-tn-1>L>t2-t1>0. 所以, 对任意的n?N*, 均有tn?t12, 与题

设条件矛盾. 因此, 假设不成立, 即f(z)+1?2成立. f(z)（3）设存在u?C满足题设要求, 令an=Rezn，（n?N*）. 易得对一切n?N*, bn=Imzn22ì?an+1=an+an+1-bn?均有an30, 且í（※）.

?b=(2an+1)bn??n+1（ｉ）若u?（ⅱ）若u?{{i，i}, 则{zn}显然为常数数列, 故u=?i满足题设要求.

bn)?i，i}, 则用数学归纳法可证: 对任意n?N*, (an，-1)，(0，1)}. {(0，证明: 当n=1时, 由u?{i，i}, 可知(a1，b1)?(0，1)}. {(0，1)，(0，1)}. {(0，1)，假设当n=k时, (ak，bk)?那么, 当n=k+1时,

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