3． 设A＝{x|x2－2x－3>0}，B＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若A∪B＝R，A∩B＝(3,4]，则a＋b＝
________. 答案 －7
解析 依题意，A＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)， 又因为A∪B＝R，A∩B＝(3,4]，则B＝[－1,4]． 所以a＝－(－1＋4)＝－3，b＝－1×4＝－4， 于是a＋b＝－7.
x－1
4． 已知p：≤0，q：4x＋2x－m≤0，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是________．
x
答案 [6，＋∞)
解析 由p得：0 只需m≥(4x＋2x)max，而(4x＋2x)max＝6，∴m≥6. 5． 函数y＝a1x (a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0 (mn>0)上， － 11 则＋的最小值为________． mn答案 4 解析 定点A(1,1)，又A在mx＋ny－1＝0上， 11?11 ∴m＋n＝1.∴＋＝(m＋n)??m＋n? mnnm＝2＋＋≥4. mn 1 当且仅当m＝n＝时取等号． 2 2 6． 在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝的图象交于P，Q两 x 点，则线段PQ长的最小值是________． 答案 4 2 解析 过原点的直线与f(x)＝交于P、Q两点，则直线的斜率k>0，设直线方程为y＝ xkx， 22y＝kx，????x＝ k，?x＝－k，? 由?2得?或? y＝，????x?y＝2k?y＝－2k，∴P(2，2k)，Q(－k 2，－2k)或P(－k 2，－2k)，Q( k 2，2k)． k ∴PQ＝＝22 ? 2＋k22 ?＋?2k＋2k?2 k 1k＋≥4. k x≥1，?? 7． (2013·课标全国Ⅱ改编)已知a>0，x，y满足约束条件?x＋y≤3， ??y≥a?x－3?， 小值为1，则a＝________. 1 答案 2 解析 作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)． 易知直线z＝2x＋y过交点A时，z取最小值， ??x＝1，由? ?y＝a?x－3?，???x＝1，得? ?y＝－2a，? 若z＝2x＋y的最 ∴zmin＝2－2a＝1， 1解得a＝. 2 x－2y＋3≥0，?? 8． 已知变量x，y满足约束条件?x－3y＋3≤0， ??y－1≤0， 若目标函数z＝y－ax仅在点(－3,0)处取 到最大值，则实数a的取值范围为________． 1 ，＋∞? 答案 ??2? 解析 如图所示，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域 及直线y－ax＝0，要使目标函数z＝y－ax仅在点(－3,0)处取到 最大值(即直线z＝y－ax仅当经过该平面区域内的点(－3,0)时， 在y轴上的截距达到最大)， 1 结合图形可知a>. 2 y≥0，?? 9． 已知实数x，y满足?y－x＋1≤0， ??y－2x＋4≥0， 个，则a的值为________． 答案 1 若z＝y－ax取得最大值时的最优解(x，y)有无数 解析 依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域， 如图所示． 要使z＝y－ax取得最大值时的最优解(x，y)有无数个， 则直线z＝y－ax必平行于直线y－x＋1＝0，于是有a＝1. x＋y－2≥0，?? 10．(2013·浙江)设z＝kx＋y，其中实数x，y满足?x－2y＋4≥0，若z的最大值为12，则 ??2x－y－4≤0. 实数k＝________. 答案 2 解析 作出可行域如图阴影部分所示： 1 由图可知当0≤－k<时，直线y＝－kx＋z经过点M(4,4)时z最大，所以4k＋4＝12， 21 解得k＝2(舍去)；当－k≥时，直线y＝－kx＋z经过点(0,2)时z最大，此时z的最大值 2为2，不合题意；当－k<0时，直线y＝－kx＋z经过点M(4,4)时z最大，所以4k＋4＝12，解得k＝2，符合题意．综上可知，k＝2. 二、解答题 11．求解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0. 解 (1)当a＝0时，原不等式变为－x＋1<0，此时不等式的解集为{x|x>1}． 1x－?<0. (2)当a≠0时，原不等式可化为a(x－1)??a?1 x－?>0， 若a<0，则上式即为(x－1)??a?1 又因为<1， a 1 所以此时不等式的解集为{x|x>1或x<}． a1x－?<0. 若a>0，则上式即为(x－1)??a?1 ①当<1，即a>1时， a ?1? 原不等式的解集为?x|a ? ? 1 ②当＝1，即a＝1时，原不等式的解集为?； a1 ③当>1，即0 a1?? 原不等式的解集为?x|1 ? ? 综上所述， 1?? 当a<0时，原不等式的解集为?x|x ? ? 当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}； 1?? 当0 ? ? 当a＝1时，原不等式的解集为?； ?1? 当a>1时，原不等式的解集为?x|a ? ? 12．某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行 防辐射处理，建防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p(万元)和宿舍与工厂的距离x(km)的关系式为p＝ k (0≤x≤8)，若距离为1 km时，测算3x＋5 宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元．设f(x)为建造宿舍与修路费用之和． (1)求f(x)的表达式； (2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f(x)最小，并求最小值． k解 (1)根据题意得100＝，所以k＝800， 3×1＋5800 故f(x)＝＋5＋6x,0≤x≤8. 3x＋5 800 (2)因为f(x)＝＋2(3x＋5)－5≥80－5， 3x＋5800 当且仅当＝2(3x＋5)即x＝5时f(x)min＝75. 3x＋5 所以宿舍应建在离厂5 km处，可使总费用f(x)最小，最小为75万元． 1 13．已知函数f(x)＝ax3－bx2＋(2－b)x＋1在x＝x1处取得极大值，在x＝x2处取得极小值， 3 且0 (2)若z＝a＋2b，求z的取值范围． (1)证明 求函数f(x)的导数f′(x)＝ax2－2bx＋2－b. 由函数f(x)在x＝x1处取得极大值， 在x＝x2处取得极小值，知x1、x2是f′(x)＝0的两个根， 所以f′(x)＝a(x－x1)(x－x2)． 当x (2)解 在题设下，0 ??f′?2?>0，2－b>0，2－b>0，???? 即?a－2b＋2－b<0，化简得?a－3b＋2<0，???4a－4b＋2－b>0，?4a－5b＋2>0. 此不等式组表示的区域为平面aOb上的三条直线： 2－b＝0，a－3b＋2＝0,4a－5b＋2＝0所围成的△ABC的内部，其三个顶点分别为：46?A??7，7?，B(2,2)，C(4,2)． 16 z在这三点的值依次为，6,8. 716 所以z的取值范围为(，8)． 7
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