2019年中考数学分类汇编一一与圆有关的压轴题
2019年与圆有关的压轴题，考点涉及：垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线性质；锐角三 角函数定义；特殊角的三角函数值；相似三角形的判定和性质；勾股定理；
特殊四边形性质；等?数学思想涉及：
ABC的内切圆.
数形结合；分类讨论；化归；方程 ?现选取部分省市的2019年中考题展示，以飨读者?
【题1】(2019年江苏南京,26题)如图，在Rt△ ABC中，/ ACB=90 , AC=4cm BC=3cm OO
P为圆心，PB长为半径作圆，设点 P运动的时间
三角形性
(1 )求00的半径；
(2)点P从点B沿边BA向点A以1cm/s的速度匀速运动，以
1)通
(2)考虑两圆相切，且一圆已固定，一般就有两种情形，外切与内切?所以我们要分别讨论，当外切时，圆心 距等于
两圆半径的和；当内切时，圆心距等于大圆与小圆半径的差?分别作垂线构造直角三角形，类似( 过表示边长之间的关系列方程，易得 t的值.
【解】：(1)如图1，设OO与AB BC CA的切点分别为 贝U AD=AF BD=BE CE=CF TOO ABC的内切圆，
? OFL AC OEL BC 即/OFCM OEC=90 . ???/ C=90 ,
?四边形CEOF是矩形， ?/ OE=OF
?四边形CEOF是正方形.
设OO 的半径为 rcm，贝U FC=EC=OE=rcm 在 Rt△ ABC中, M ACB=90 , AC=4cm BC=3cm ? AB= =5cm
?/ AD=AF=AC FC=4- r , BD=BE=BC EC=3- r , ? 4 - r+3 - r=5 , 解得r=1，即OO的半径为1cm. (2)如图2,过点P作PGLBC垂直为G. ???/ PGBM C=90 , ? PG/ AC ? △ PBG^A ABC ? ??? PG—, 9-.
若OP与OO相切，则可分为两种情况，OP ①当OP与OO外切时，
如图3,连接op贝y 0P=1+t,过点P作PHLOE垂足为 ???/ PHEM HEGM PGE=90 , ???四边形PHEG是矩形，
与OO外切,
??? HE=PG PH=CE
???OH=OE HE=1-匕,
PH=GE=BC EC— BG=3— 1 -
在 Rt△ OPH中，
由勾股定理，〔1-幺)+ (2-2 )乞仃+t) 2 5 5 解得t=二.
②当OP与OO内切时， 如图4,连接 OP贝y OP=t- 1,过点 O作 OMLPG垂足为 M. ???/ MGEN OEGM OMG=90 ,
?四边形OEGMI矩形， ? MG=QE OM=EG ? PM=PG MG=t - 1，
3
5
在 Rt△ OPM中,
由勾股定理，丄：* J — t I -
，解得t=2 .
5
OM=EG=BCEC- BG=3- 1 -厶=2
3
5
综上所述，OP 与OO相切时，t=2s或t=2s .
【点评】：本题考查了圆的性质、两圆相切及通过设边长，表示其他边长关系再利用直角三角形求解等常规考查 点，总体题目难度不高，是一道非常值得练习的题目.
【题2］ (2018?泸州24题)如图，四边形ABCD内接于O O, AB是OO的直径，AC和BD相交于点E,且DC=CE?CA
(1) 求证：BC=CD
(2) 分别延长 AB, DC交于点P,过点A作AFL CD交CD的延长线于点 【考点］: 相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理?菁优 【分析］:
(1)求出△ CD0A CAD / CDBN DBC 得出结论.
F,若PB=OB CD刼互，求DF的长.
(2)连接OC先证AD//OC由平行线分线段成比例性质定理求得 PC?PD=PB?P求得半径为4 ,根据勾股定理求得 AC=.,再证明△ PC=QE，再由割线定理
ACB得
【解答］:
AF_AC_2VjJr-，则可设 FD=X, AF祈X,在 Rt△ AFP中，求得 DF 一匕. FD CB 2^2
(1)证明：??? DC=CE?CA
2
4
?匹鸟
? CE DC，
△ CD0A CAD ? / CDBN DBC
???四边形ABCD内接于O O, ? BC=CD
(2)解：如图，连接 OC
?/ BC=CD
???/ DACM CAB 又??? AO=CO ???/ CABM ACO ???/ DACM ACO ? AD// OC ? _l = N
PD PA
??? PB=OB CD=-：,
PC+2J2 3
? PC=4. :■:
又??? PC?PD=PB?PA
? PA=4也就是半径OB=4 在 RT^ ACB 中 , AC=.汗-.「A'- ?/ AB是直径， ???/ ADBM ACB=90 ???/ FDA+Z BDC=90 / CBA+/ CAB=90 ???/ BDC/ CAB ? / FDA/ CBA 又???/ AFD/ ACB=90 ? △ AFD^A ACB
_ -
=2 !■：,
在 Rt△ AFP 中，设 FD=x 贝U AF= I，:, ???在APF中有， 求得DF=二.
【点评】： 本题主要考查相似三角形的判定及性质，勾股定理及圆周角的有关知识的综合运用能力，关键是
找准对应的角和边求解.
【题3】（2018?济宁21题）阅读材料：
已知，如图（1）,在面积为 S的厶ABC中，BC=a AC=b AB=c,内切圆 O的半径为r.连接 OA OB OC △ ABC 被划分为三个小三角形.
a+b4c
(a+b+c) r.
…r=
（1） 类比推理：若面积为 S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），如图（2））各边长分别为 AB=a,
BC=b, CD=c AD=d求四边形的内切圆半径 r ;
（2） 理解应用：如图（3）,在等腰梯形 ABCD中 , AB// DC AB=21 , CD=11, AD=13 OO 1与OO 2分别为△ ABD与
r!
△ BCD的内切圆，设它们的半径分别为 r1和「2 ,求一的值.
r2
⑴
【考 点】
【分
析】 B
:圆的综合题. 菁优
:(1)已知已给出示例，我们仿照例子，连接 OA OB OC OD则四边形被分为四个小三角形，且 每个三角形都以内切圆半径为高，以四边形各边作底，这与题目情形类似?仿照证明过程， r易得. (2) (1)中已告诉我们内切圆半径的求法，如是我们再相比即得结果?但求内切圆半径需首先知道 三角形各边边长，根据等腰梯形性质，过点 D作AB垂线，进一步易得 BD的长，则ri、“、 —-易得.
【解:（1）如图 2,连接 OA OB OC OD
答】 ■/ S=SAAOB+SABO（+SACO[+SAAOD^ 旺+丄匚（
+1过 +b +寸d） …r=
2S
a+b+c+d
(2)如图3,过点D作DEIAB于E, ???
梯形ABCD为等腰梯形，
二AE= 2
（朋-CD）（21 — 11） =5,
??? EB=AB- AE=21 5=16 ? - 在 Rt△ AED 中，
?/ AD=13 AE=5,
? DB=7DE2+EB^
-=20 ? ?「S △ABD=-jL?^^?ia=126
, 捉叩E s
△CDB=_^*CD*DE 斗 11?12=66,
2-126
i* 1 AB+BD-l-AD
21+20+13 u r7 2S
AQ）E
=2吨肘 CD+C&-FDB 11+13+20
【点:本题考查了学生的学习、理解、创新新知识的能力，同时考查了解直角三角形及等腰梯形等相关
评】 知识?这类创新性题目已经成为新课标热衷的考点，是一道值得练习的基础题，同时要求学生在日 常的学习中要注重自我学习能力的培养.
r2
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