几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式 开口方向 当a?0时 开口向上 当a?0时 开口向下 对称轴 顶点坐标 （0,0） (0, k) (h,0) (h,k) y?ax2 y?ax?k y?a?x?h? 2x?0（y轴） 2x?0（y轴） x?h x?h x??b 2ay?a?x?h??k 2y?ax2?bx?c b4ac?b2(?) ，2a4a4.求抛物线的顶点、对称轴的方法 b?4ac?b2b4ac?b2?2 （1）公式法：y?ax?bx?c?a?x?，∴顶点是，对称轴是直（?，）??2a4a2a4a??线x??2b. 2a2 （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y?a?x?h??k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线x?h. （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。
(x2,y)（及y值相同） 若已知抛物线上两点(x1,y)、，则对称轴方程可以表示为：x?9.抛物线y?ax?bx?c中，a,b,c的作用
（1）a决定开口方向及开口大小，这与y?ax中的a完全一样.
（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y?ax?bx?c的对称轴是直线
222x1?x2 2x??③
bb，故：①b?0时，对称轴为y轴；②?0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；2aab?0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧. a2 （3）c的大小决定抛物线y?ax?bx?c与y轴交点的位置.
当x?0时，y?c，∴抛物线y?ax?bx?c与y轴有且只有一个交点（0，c）： ①c?0，抛物线经过原点; ②c?0,与y轴交于正半轴；③c?0,与y轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 11.用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式：y?ax?bx?c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. （2）顶点式：y?a?x?h??k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
22b?0. a2 （3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y?a?x?x1??x?x2?.
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12.直线与抛物线的交点
（1）y轴与抛物线y?ax?bx?c得交点为(0, c). （2）抛物线与x轴的交点
二次函数y?ax?bx?c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程
22ax2?bx?c?0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点?(??0)?抛物线与x轴相交；
②有一个交点（顶点在x轴上）?(??0)?抛物线与x轴相切； ③没有交点?(??0)?抛物线与x轴相离. （3）平行于x轴的直线与抛物线的交点
同（2）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐 标为k，则横坐标是ax?bx?c?k的两个实数根.
（4）一次函数y?kx?n?k?0?的图像l与二次函数y?ax?bx?c?a?0?的图像G的交点，由方程22组 y?kx?ny?ax2?bx?c的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时?l与G有两个交点; ②方
程组只有一组解时?l与G只有一个交点；③方程组无解时?l与G没有交点.
（5）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y?ax?bx?c与x轴两交点为A?x1，0?，B?x2，0?，
2则AB?x1?x2
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