~
18．（2015?浙江）已知数列{an}和{bn}满足a1=2，b1=1，an+1=2an（n∈N*），b1+b2+b3+…+bn=bn+1﹣1（n∈N*） （Ⅰ）求an与bn；
（Ⅱ）记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn．
【分析】（Ⅰ）直接由a1=2，an+1=2an，可得数列{an}为等比数列，由等比数列的通项公式求得数列{an}的通项公式；
再由b1=1，b1+b2+b3+…+bn=bn+1﹣1，取n=1求得b2=2，当n≥2时，得另一递推式，作差得到的通项公式； （Ⅱ）求出
，然后利用错位相减法求数列{anbn}的前n项和为Tn．
．
，整理得数列{
}为常数列，由此可得{bn}
【解答】解：（Ⅰ）由a1=2，an+1=2an，得由题意知，当n=1时，b1=b2﹣1，故b2=2， 当n≥2时，b1+b2+b3+…+
，整理得：
∴
；
，
=bn﹣1，和原递推式作差得， ，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，因此
，
两式作差得：
（n∈N*）．
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列和等比数列等基础知识，同时考查数列求和等基本思想方法，以及推理论证能力，是中档题．
19．（2015?安徽）已知数列{an}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．
，
··
~
（1）求数列{an}的通项公式； （2）设Sn为数列{an}的前n项和，bn=
，求数列{bn}的前n项和Tn．
【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出首项和公比即可，求数列{an}的通项公式； （2）求出bn=
，利用裂项法即可求数列{bn}的前n项和Tn．
【解答】解：（1）∵数列{an}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8． ∴a1+a4=9，a1a4=a2a3=8．
解得a1=1，a4=8或a1=8，a4=1（舍）， 解得q=2，即数列{an}的通项公式an=2n﹣1； （2）Sn=
=2n﹣1，
∴bn===﹣，
+…+
﹣
=
﹣
=1﹣
∴数列{bn}的前n项和Tn=
．
【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．
20．（2015?山东）设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn=3n+3． （Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}，满足anbn=log3an，求{bn}的前n项和Tn．
【分析】（Ⅰ）利用2Sn=3n+3，可求得a1=3；当n＞1时，2Sn﹣1=3n﹣1+3，两式相减2an=2Sn﹣2Sn﹣1，可求得an=3n﹣1，从而可得{an}的通项公式；
（Ⅱ）依题意，anbn=log3an，可得b1=，当n＞1时，bn=31﹣n?log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，于是可求得T1=b1=；当n＞1时，Tn=b1+b2+…+bn=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+
··
~
（n﹣1）×31﹣n），利用错位相减法可求得{bn}的前n项和Tn． 【解答】解：（Ⅰ）因为2Sn=3n+3，所以2a1=31+3=6，故a1=3， 当n＞1时，2Sn﹣1=3n﹣1+3，
此时，2an=2Sn﹣2Sn﹣1=3n﹣3n﹣1=2×3n﹣1，即an=3n﹣1， 所以an=
．
（Ⅱ）因为anbn=log3an，所以b1=，
当n＞1时，bn=31﹣n?log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n， 所以T1=b1=；
当n＞1时，Tn=b1+b2+…+bn=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n）， 所以3Tn=1+（1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+（n﹣1）×32﹣n）， 两式相减得：2Tn=+（30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣（n﹣1）×31﹣n）=+﹣1）×31﹣n=所以Tn=
﹣
﹣﹣
，
，经检验，n=1时也适合，
．
﹣（n
综上可得Tn=
【点评】本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用，突出考查“错位相减法”求和，考查分析、运算能力，属于中档题．
21．（2008?全国卷Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn．已知a1=a，an+1=Sn+3n，n∈N*．由
（Ⅰ）设bn=Sn﹣3n，求数列{bn}的通项公式； （Ⅱ）若an+1≥an，n∈N*，求a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）依题意得Sn+1=2Sn+3n，由此可知Sn+1﹣3n+1=2（Sn﹣3n）．所以bn=Sn﹣3n=（a﹣3）2n﹣1，n∈N*．
（Ⅱ）由题设条件知Sn=3n+（a﹣3）2n﹣1，n∈N*，于是，an=Sn﹣Sn﹣
1=
，由此可以求得a的取值范围是[﹣9，+∞）．
··
~
【解答】解：（Ⅰ）依题意，Sn+1﹣Sn=an+1=Sn+3n，即Sn+1=2Sn+3n， 由此得Sn+1﹣3n+1=2Sn+3n﹣3n+1=2（Sn﹣3n）．（4分）
因此，所求通项公式为bn=Sn﹣3n=（a﹣3）2n﹣1，n∈N*．①（6分） （Ⅱ）由①知Sn=3n+（a﹣3）2n﹣1，n∈N*， 于是，当n≥2时，
an=Sn﹣Sn﹣1=3n+（a﹣3）×2n﹣1﹣3n﹣1﹣（a﹣3）×2n﹣2=2×3n﹣1+（a﹣3）2n﹣2， an+1﹣an=4×3n﹣1+（a﹣3）2n﹣2=当n≥2时，又a2=a1+3＞a1．
综上，所求的a的取值范围是[﹣9，+∞）．（12分）
【点评】本题考查数列的综合运用，解题时要仔细审题，注意挖掘题设中的隐含条件．
22．（2014?山东）已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）令bn=（﹣1）n﹣1
，求数列{bn}的前n项和Tn．
，
?a≥﹣9．
【分析】（Ⅰ）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得bn=即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）∵等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn， ∴Sn=
=n2﹣n+na1，
．对n分类讨论“裂项求和”
∵S1，S2，S4成等比数列， ∴∴
，
，化为
，解得a1=1．
∴an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1． （
··
Ⅱ）由（Ⅰ）可得
bn=（﹣1）
n
﹣
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