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课时跟踪检测（三）几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式
层级一 学业水平达标
1．已知f(x)＝ln x，则f′(e)＝( ) A．0 B．1
e C．1
D．e
解析：选B ∵f(x)＝ln x，∴f′(x)＝11
x，则f′(e)＝e
. 2．若指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)满足f′(1)＝ln 27，则f′(－1)＝( A．2 B．ln 3 C.ln 3
3
D．－ln 3
解析：选C f′(x)＝axln a，由f′(1)＝aln a＝ln 27， 解得a＝3，则f′(x)＝3xln 3，故f′(－1)＝ln 3
3
. 3．已知f(x)＝x2
·x，则f′(2)＝( ) A．42 B．0 C.2
D．52
5解析：选D 原函数化简得f(x)＝x2，
所以f′(x)＝535
32·x2，所以f′(2)＝2
×22＝52.
4．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－2，则α的值等于( ) A．2 B．－2 C．3
D．－3
解析：选A 若α＝2，则f(x)＝x2
，∴f′(x)＝2x， ∴f′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A. 5. 曲线y＝13x3
在x＝1处切线的倾斜角为( )
A．1 B．－
π
4
C.
π54 D.π4
解析：选C ∵y′＝x2
，∴y′|x＝1＝1，
∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，∵0≤α<π，∴α＝
π4
. 金戈铁骑
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1
6．已知f(x)＝，g(x)＝mx，且g′(2)＝
1
xf′2
，则m＝________.
1
解析：∵f′(x)＝－2，
x1
∴f′(2)＝－.
4
又∵g′(x)＝m，∴g′(2)＝m. 由g′(2)＝答案：－4
1?1?7．曲线y＝－在点?，－2?处的切线方程是________． x?2?1?1?解析：因为y′＝?－?′＝2，
1
f′2
，得m＝－4.
?x?
x1?1?所以y′|x＝＝4，所以切线方程是y＋2＝4?x－?， 2?2?即y＝4x－4. 答案：y＝4x－4
8．设坐标平面上的抛物线C：y＝x，过第一象限的点(a，a)作抛物线C的切线l，则直线l与y轴的交点Q的坐标为________．
解析：显然点(a，a)为抛物线C：y＝x上的点， ∵y′＝2x，∴直线l的方程为y－a＝2a(x－a)． 令x＝0，得y＝－a，
∴直线l与y轴的交点的坐标为(0，－a)． 答案：(0，－a) 9．求下列函数的导数：
(1)y＝x；(2)y＝4；(3)y＝log3x； (4)y＝sin?x＋
8
2
2
2
2
2
2
2
2
x??
π?2
；(5)y＝e. ?2?
8
8－1
解：(1)y′＝(x)′＝8xxx＝8x.
7
(2)y′＝(4)′＝4ln 4. (3)y′＝(log3x)′＝
1
. xln 3
(4)y′＝(cos x)′＝－sin x. (5)y′＝(e)′＝0.
10．已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x上的两点，
2
2
金戈铁骑
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(1)求过点P，Q的曲线y＝x2
的切线方程． (2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2
的切线方程．
解：(1)因为y′＝2x，P(－1,1)，Q(2,4)都是曲线y＝x2
上的点． 过P点的切线的斜率k1＝y′|x＝－1＝－2， 过Q点的切线的斜率k2＝y′|x＝2＝4， 过P点的切线方程：y－1＝－2(x＋1)， 即2x＋y＋1＝0.
过Q点的切线方程：y－4＝4(x－2)， 即4x－y－4＝0. (2)因为y′＝2x，
直线PQ的斜率k＝4－1
2＋1＝1，
切线的斜率k＝y′|x＝x0＝2x0＝1， 所以x10＝?11?24?2，所以切点M?，??， 与PQ平行的切线方程为：
y－1＝x－142
，即4x－4y－1＝0.
层级二 应试能力达标
1．质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝5
t，则质点在t＝4时的速度为( A.
1
B.
1
2523
10523C.25155
23 D.
10
23 ∵s′＝15
t?4解析：选B 5.∴当t＝4时，
s′＝1·
15
＝
1
. 5
4
4
1052
32．直线y＝1
2x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b的值为( )
A．2 B．ln 2＋1 C．ln 2－1
D．ln 2
解析：选C ∵y＝ln x的导数y′＝1
x，
金戈铁骑
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11
∴令＝，得x＝2，∴切点为(2，ln 2)．
x21
代入直线y＝x＋b，得b＝ln 2－1.
2
13
3．在曲线f(x)＝上切线的倾斜角为π的点的坐标为( )
x4A．(1,1) C．(－1,1)
B．(－1，－1) D．(1,1)或(－1，－1)
113
解析：选D 因为f(x)＝，所以f′(x)＝－2，因为切线的倾斜角为π，所以切线
xx4斜率为－1，
1
即f′(x)＝－2＝－1，所以x＝±1，
x则当x＝1时，f(1)＝1；
当x＝－1时，f(1)＝－1，则点坐标为(1,1)或(－1，－1)． 4．设曲线y＝xn＋1
(n∈N)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·
*
x2·…·xn的值为( )
11A. B. nn＋1C.
nn＋1
n＋1
*
D．1
(n∈N)求导得y′＝(n＋1)x. 令x＝1，得在点(1,1)处的切线
n解析：选B 对y＝x的斜率k＝n＋1，∴在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(xn－1)．令y＝0，得xn＝123n－1n1
∴x1·x2·…·xn＝×××…××＝， 故选B.
234nn＋1n＋1
nn＋1
，5．已知f(x)＝a(a为常数)，g(x)＝ln x，若2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝1，则x＝________.
1
解析：因为f′(x)＝0，g′(x)＝，
2
x1
所以2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝2x－＝1.
x1
解得x＝1或x＝－，因为x＞0，所以x＝1.
2答案：1
6．与直线2x－y－4＝0平行且与曲线y＝ln x相切的直线方程是________． 解析：∵直线2x－y－4＝0的斜率为k＝2，
金戈铁骑
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