世纪金榜2016最新版数学文科 课时提升作业（五十九） 选修4-4 1

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课时提升作业(五十九)

坐 标 系 (45分钟 100分)

一、选择题(每小题6分,共18分)

1.在极坐标系中,圆ρ=-2sinθ(0≤θ<2π)的圆心的极坐标是( ) A.(1,) B.(1,?) C.(1,0) D.(1,π)

【解析】选B.由ρ=-2sinθ,得ρ2=-2ρsinθ,化为普通方程为x2+(y+1)2=1,其圆心坐标为(0,-1),所以其极坐标为(1,?).

2.极坐标系中,圆ρ=2cosθ与直线2ρcos(??) =-1的位置关系为( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定

【解析】选B.圆ρ=2cosθ与直线2ρcos(??)=-1的直角坐标方程分别为圆(x-1)2+y2=1与x-3y+1=0,圆心(1,0)到直线的距离为d=直线与圆相切.

3.(2015·北京模拟)在极坐标系中,圆ρ=2sinθ的圆心到极轴的距离为( ) A.1 B.2 C.3 D.2 【解析】选A.由圆的极坐标方程ρ=2sinθ, 得ρ2=2ρsinθ,

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?2?2?2?3?3|1?3?0?1|=1=r,所以2圆学子梦想 铸金字品牌

圆的直角坐标方程为x2+y2-2y=0, 标准方程为x2+(y-1)2=1,

所以圆心C(0,1)到极轴的距离为1. 二、填空题(每小题6分,共18分)

4.(2014·陕西高考)在极坐标系中,点(2,)到直线ρsin(??)=1的距离是 .

【解题提示】把直线的极坐标方程化为直角坐标方程,把点的极坐标化为直角坐标,从而求得此点到直线的距离.

【解析】由于直线的极坐标方程是ρsin(??)=1,化为直角坐标方程为x-3y+2=0,点(2,)的直角坐标为(3,1), 所以点到直线的距离d?答案:1

5.(2014·天津高考)在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A,B两点.若△AOB是等边三角形,则a的值为 . 【解析】圆的普通方程为x2+(y-2)2=4,直线为y=a. 因为△AOB是等边三角形,所以其中一个交点坐标为(a=3. 答案:3

6.在以O为极点的极坐标系中,直线l的极坐标方程是ρcosθ-2=0,直线l与极轴相交于点M,以OM为直径的圆的极坐标方程是 . 【解析】直线l:ρcosθ-2=0的普通方程是x=2,

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?6?6?6?6

|3?31?2|?1.

1?3a,a),代入圆的方程可得3圆学子梦想 铸金字品牌

直线l与x轴相交于点M(2,0),

以OM为直径的圆的普通方程为(x-1)2+y2=1, 即x2-2x+y2=0,

化为极坐标方程是ρ2-2ρcosθ=0, 即ρ=2cosθ. 答案:ρ=2cosθ

三、解答题(每小题16分,共64分)

7.在极坐标系中,从极点O作直线与另一直线l:ρcosθ=4相交于点M,在OM上取一点P,使OM·OP=12. (1)求点P的轨迹方程.

(2)设R为l上任意一点,试求RP的最小值.

【解题提示】由O,M,P三点共线及OM·OP=12.设出动点P,M的极坐标,然后代入条件等式求解即可.也可以转化为普通方程解决. 【解析】方法一:

(1)设动点P的极坐标为(ρ,θ),则点M为(ρ0,θ). 因为OM·OP=12,所以ρ0ρ=12,得ρ0=因为M在直线ρcosθ=4上, 所以ρ0cosθ=4,即

12cosθ=4. ?12. ?于是ρ=3cosθ(ρ>0)为所求的点P的轨迹方程. (2)由于点P的轨迹方程为ρ=3cosθ=2·cosθ, 所以点P的轨迹是圆心为(,0),半径为的圆(去掉原点).

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又直线l:ρcosθ=4过点(4,0)且垂直于极轴,点R在直线l上,由此可知RP的最小值为1.

方法二:(1)直线l:ρcosθ=4的直角坐标方程为x=4,设点P(x,y)为轨迹上任意一点,点M(4,y0),由

∥

,得y0=

4y(x>0). x又OM·OP=12,则OM2·OP2=144.

16y2所以(x+y)(16?2)=144,

x2

2

整理得x2+y2=3x(x>0), 这就是点P的轨迹的普通方程.

(2)由上述可知,点P的轨迹是圆心为(,0),半径为的圆(去掉原点). 又点R在直线l:x=4上,故RP的最小值为1.

8.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρcos(??)=1,M,N分别为C与x轴,y轴的交点. (1)写出C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标. (2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程. 【解析】(1)由ρcos(??)=1得?(cos??13x?y=1. 22?3?332

32123sin?)=1.从而C的直角坐标方程为2即x+3y=2. 当θ=0时,ρ=2,所以M(2,0);

?2323?当??时,??,所以N(,).

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