2018-2019学年四川省成都市育才学校八年级(下)期中数学试卷

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD＝CD＝BC，AD∥BC，AB∥CD，∠BAC＝ACB＝45°， ∵MN∥BC， ∴MN∥AD∥BC，

∴四边形ADNM，四边形BMNC是平行四边形， ∵∠DAM＝∠MBC＝90°，

∴四边形ADNM，四边形BMNC都是矩形， ∴BM＝NC，AM＝DN，MN＝AD＝BC， ∵∠BAC＝45°，∠AMN＝90°， ∴AM＝PM， 又∵AB＝MN， ∴MB＝PN， ∵∠BPQ＝90°， ∴∠BPM+∠NPQ＝90°， 又∵∠MBP+∠BPM＝90°， ∴∠MBP＝∠NPQ， 在Rt△MBP和Rt△NPQ中，

，

∴△MBP≌△NPQ（ASA）， ∴PB＝PQ．

（2）∵S四边形PBCQ＝S△PBC+S△PCQ，

∵AP＝x， ∴AM＝

x，

x， ?1?（1﹣

x）＝

﹣

x，

∴CQ＝CD﹣2NQ＝1﹣又∵S△PBC＝S△PCQ＝＝

x2﹣

BC?BM＝

CQ?PN＝

x+

， x2﹣

（1﹣x）（1﹣?x），

∴S四边形PBCQ＝

x+1．（0≤x≤）．

（3）△PCQ可能成为等腰三角形．

①当点P与点A重合时，点Q与点D重合， ∴PQ＝QC，此时，x＝0．

②如图2中，当点Q在DC的延长线上，且CP＝CQ时，

∵CP＝CQ，∠ACD＝45°， ∴∠PQN＝∠CPQ＝22.5°， ∴∠QPN＝∠APB＝67.5°，

∵∠ABP＝180°﹣∠BAP﹣∠APB＝67.5°＝∠APB， ∴AP＝AB＝1， ∴x＝1，

综上所述：△PCQ为等腰三角形时，x的值为0或1．