04第四讲 - 微分方程

第四讲 微分方程

考纲要求

1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念. 2.掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法. 3.会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程. 4.会用降阶法解下列微分方程：y(n)?f(x)，y???f(x,y?)和y???f(y,y?). 5.理解线性微分方程解的性质及解的结构.

6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.

7.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.

8.会解欧拉方程.

9.会用微分方程解决一些简单的应用问题.

问题1 何谓微分方程、微分方程的阶、解、通解、初始条件、特解、初值问题和微分方程的积分曲线？

答 微分方程：含有自变量、未知函数、未知函数的导数的等式.

微分方程的阶(order)：微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数.

微分方程的解：满足微分方程的函数.

微分方程的通解：微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数.

初始条件：确定微分方程通解中任意常数的值的条件.

微分方程的特解：确定了通解中任意常数的值后所得到的解.

初值问题（Cauchy问题）：微分方程连同初始条件.

一阶微分方程初值问题：F(x,y,y?)?0，y(x0)?y0.

?. 二阶微分方程初值问题：F(x,y,y?,y??)?0，y(x0)?y0，y?(x0)?y0

微分方程的积分曲线：微分方程的解的图形（通解的图形是一族曲线）.

问题2 如何求解一阶微分方程？

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答 一阶微分方程的一般形式是：F(x,y,y?)?0，解出y?：

dy?f(x,y)，考纲要求dx掌握变量可分离的微分方程、一阶线性微分方程、.齐次微分方程、伯努利方程的解法.

1可分离变量的微分方程：

dy?g(x)h(y) dx解法 分离变量：

dydy?g(x)dx；两端积分：???g(x)dx. h(y)h(y)2 齐次微分方程：

dy?y????? dx?x?ydydudu?u?x，代入方程，得u?x??(u)并求解. ，则y?xu，

xdxdxdxdy?P(x)y?Q(x) 3 一阶线性微分方程：dx解法 令u?

若Q(x)?0，则称它是齐次的，否则，称它为非齐次的. 解法（常数变易法） 先解对应齐次线性微分方程

?P(x)dxdy?P(x)y?0，求得通解y?Ce?； dx?P(x)dx再令非齐次线性微分方程的解为y?C(x)e?，代入方程求出C(x).

?P(x)dxP(x)dx通解公式：y?e?(Q(x)e?dx?C)

?解的结构：一阶非齐次线性微分方程的通解?对应的齐次线性微分方程的通解?非齐次线性微分方程的特解.

4 伯努利方程：

dy?P(x)y?Q(x)y?(??0,1).（与一阶线性微分方程比较） dx??解法 方程两边乘以y，再令z?y1??，将方程化为一阶线性微分方程.

求解微分方程的步骤是：判断方程的类型并用相应的方法求解. 例 求解下列一阶方程： 1.xy??x2?y2?y 【x?0,arcsiny?lnx?C】 xCx?12.xy??y(lny?lnx) 【y?xe】

dy?x2?y2,y(e)?2e 【y?x2lnx?2】 dxsinx?124.(x?1)dy?(2xy?cosx)dx?0,y(0)?1 【y?】

x2?11335.(x?y)dy?2ydx?0 【x??y?Cy】

53.xy49

6.

dyy ?dxlny?xx】 2x?C7.(2xy2?y)dx?xdy?0 【y?

问题3 如何求解可降阶的二阶微分方程？

答 二阶微分方程F(x,y,y?,y??)?0，解出y???f(x,y,y?)，考纲要求掌握下列三种类型可降阶方程的解法：

1. y???f(x)、y(n)?f(x)型的微分方程 特点：右端仅含x. 解法：积分两次.

2. y???f(x,y?)型的微分方程 特点：右端不显含未知函数y.

解法：换元，化为一阶方程求解. 步骤如下： ⑴令y??p，则y???方程）；

⑵解出p；

⑶再由y??p解出y. 3.y???f(y,y?)型的微分方程

特点：右端不显含x.

解法：换元，化为一阶方程求解. 步骤如下： ⑴令y??p，则y???dp?p?，方程化为p??f(x,p)（这是关于变量x，p的一阶dxdpdpdydpdp??p，方程化为p?f(y,p)（这是关于变量dxdydxdydyy，p的一阶方程）；

⑵解出p；

⑶再由y??p解出y. 例

1. 解方程yy???y??0.【y?C2e2C1x】

22.求微分方程y??(x?y?)?y?满足初始条件y(1)?y?(1)?1的特解.

23.求初值问题2yy???1?y?,y(1)?1,y?(1)??1的解. 解 令y??p，则y???dpdpdydp??p， dxdydxdy50

方程化为2ypdp2pdpdy，两边积分，得 ?1?p2，分离变量，得?2dy1?pyln(1?p2)?lny?lnC1，即1?p2?C1y.

将初始条件x?1,y?1,y??p??1代入，得C1?2，故1?p2?2y，解得

p??2y?1，p?2y?1（舍去）.

再解y???2y?1，分离变量，得dy??dx，两边积分，得 2y?12y?1??x?C2，将初始条件x?1,y?1代入，得C2?2，

所求特解为2y?1?2?x，即y?12(x?4x?5). 2注意 二阶可降阶方程求特解过程中，任意常数出现一个，确定一个，有利于下一步求解.

问题4 叙述二阶线性微分方程解的性质、解的结构.

答 二阶线性微分方程的一般形式：y???P(x)y??Q(x)y?f(x) 若f(x)?0，则称方程是齐次的，否则称方程是非齐次的. 1.线性微分方程解的性质

⑴如果y1与y2是齐次方程y???P(x)y??Q(x)y?0的两个解，则y?C1y1?C2y2是此齐次方程的解.

⑵如果y1与y2是非齐次方程y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的两个解，则y1?y2是对应齐次方程y???P(x)y??Q(x)y?0的解.

*k是线性方程

*则?yk是y???P(x)y??Q(x)y?fk(x)的特解，

k?1n⑶（解的叠加原理）设yny???P(x)y??Q(x)y??fk(x)的特解.

k?12线性微分方程解的结构

定理1（齐次方程解的结构）如果y1与y2是齐次方程y???P(x)y??Q(x)y?0的两个线性无关的特解，则y?C1y1?C2y2是此齐次方程的通解.

*定理2（非齐次方程解的结构）设y是非齐次方程y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的一个

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