12．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有
两个不同的实数根，则实数k的取值范围是0＜k＜1．
考点： 根的存在性及根的个数判断． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 作出函数f（x）的图象，利用数形结合即可得到k的取值范围．
解答： 解：∵当x≥2时，f（x）=2
2﹣x
=，
∴作出函数f（x）的图象如图：
由图象可知，当k＞1时，方程f（x）=k没有根， 当k=1时，方程f（x）=k只有1个根， 当0＜k＜1时，方程f（x）=k有2个根， 当﹣1≤k≤0时，方程f（x）=k只有1个根， 当k＜﹣1时，方程f（x）=k没有根，
故若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是0＜k＜1， 故答案为：0＜k＜1
点评： 本题主要考查方程根的个数的判断，利用方程和函数之间的关系，转化为两个函数图象的交点问题是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本思想．
13．（5分）已知△ABC中，
=，
=、
=，若?=?，且
+
=0，则△ABC
的形状是等腰直角三角形．
考点： 平面向量数量积的运算；三角形的形状判断． 专题： 平面向量及应用．
分析： 由?=?，利用两个向量的数量积的定义可得||?cosC=||cosA，再由余弦定理可得a=c，故三角形为等腰三角形．再由综合可得结论．
解答： 解：∵△ABC中，
=，
=、
=，又∵?=?， +
=0 可得，
，△ABC也是直角三角形，
∴||?||?cos（π﹣C）=||?||?cos（π﹣A），化简可得||?cosC=||cosA．
设△ABC的三边分别为a、b、c，再把余弦定理代入可得a?化简可得 a=c，a=c，故三角形为等腰三角形． 再由
+
=0 可得 ?（+）=?（﹣）=0，∴?=0，∴
2
2
=c?．
．
即 B=90°，∴△ABC也是直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形．
点评： 本题主要考查两个向量的数量积的运算，两个向量垂直的条件，判断三角形的形状的方法，注意两个向量的 夹角的值，属于中档题．
14．（5分）对于函数
，下列判断中，正确结论的序号是①②（请写出所有正确结论的序号）． ①f（﹣x）+f（x）=0；
②当m∈（0，1）时，方程f（x）=m总有实数解； ③函数f（x）的值域为R；
④函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，+∞）．
考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 函数的性质及应用．
分析： ①利用奇函数的定义即可判断出； ②先求出函数的值域即可判断出； ③由②可知不正确；
④可利用导数得出其单调性．
解答： 解：①∵f（﹣x）+f（x）=②∵﹣|x|≤x≤|x|，∴
=0，（x∈R），∴①正确；
，
∴函数f（x）的值域是（﹣1，1）．
因此当m∈（0，1）时，方程f（x）=m总有实数解， ∴②正确；
③由②判断可知③不正确；
④由①可知：函数f（x）是奇函数．
又∵f（x）=，
当x≥0时，，∴函数f（x）在[0，+∞）上单调递增；
由函数f（x）是奇函数，∴函数f（x）在（﹣∞，0）也单调递增，且在x=0时连续，故函数f（x）在R上单调递增．
因此④不正确．
综上可知：正确答案为①②． 故答案为①②．
点评： 熟练掌握函数的单调性和奇偶性是解题的关键．
二、解答题（前3题每题14分、后3题16分） 15．（14分）已知角a终边上一点P（﹣4，3），求
的值．
考点： 运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系． 专题： 计算题．
分析： 根据题意利用任意角的三角函数定义求出tanα的值，所求式子利用诱导公式化简，将tanα的值代入计算即可求出值．
解答： 解：∵角a终边上一点P（﹣4，3），
∴cosα=﹣，sinα=，tanα=﹣， ∴原式=
=﹣tanα=．
点评： 此题考查了运用诱导公式化简求值，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
16．（14分）已知函数f（x）=x+1，g（x）=4x+1，的定义域都是集合A，函数f（x）和g（x）的值域分别为S和T， ①若A=[1，2]，求S∩T
②若A=[0，m]且S=T，求实数m的值
③若对于集合A的任意一个数x的值都有f（x）=g（x），求集合A．
考点： 集合的包含关系判断及应用． 专题： 函数的性质及应用．
分析： ①根据函数的定义域分别求出两个奇函数的值域，根据集合的基本运算求S∩T． ②根据条件A=[0，m]且S=T，建立条件关系即可求实数m的值． ③根据条件f（x）=g（x）建立条件关系即可求集合A． 解答： 解：（1）若A=[1，2]，
2
则函数f（x）=x+1的值域是S=[2，5]， g（x）=4x+1的值域T=[5，9]， ∴S∩T={5}．
2
（2）若A=[0，m]，则S=[1，m+1]，T=[1，4m+1]，
2
由S=T得m+1=4m+1，解得m=4或m=0（舍去）． （3）若对于A中的每一个x值，都有f（x）=g（x），
2
即x+1=4x+1， 2
∴x=4x，
解得x=4或x=0，
∴满足题意的集合是{0]，或{4}或{0，4}．
2
点评： 本题主要考查了二次函数、一次函数的性质，集合相等，集合的表示方法．考查对知识的准确理解与掌握．
17．（14分）已知向量
，
且
①用“五点法”作出函数y=f（x）在长度为一个周期的闭区间的图象． ②求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
③求函数f（x）的最大值，并求出取得最大值时自变量x的取值集合
④函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？ ⑤当x∈[0，π]，求函数解：（1）列表 （2）作图
的值域
考点： 五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题： 综合题；三角函数的图像与性质．
分析： ①利用“五点法”得到五点，列出表格，可画图； ②由周期公式可得周期，根据正弦函数的增区间可得结果； ③根据正弦函数的最大值可求；
④根据图象的平移、伸缩变换规律可得结果；
⑤先由x的范围得x﹣的范围，从而可得答案；
），列表如下：
解答： 解：①f（x）=2sin（x﹣
函数f（x）在一个周期内的图象如图所示：
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