2020年中考数学压轴专题复习 二次函数中的线段的问题(含答案)

2020中考数学 压轴专题 二次函数中的线段的问题（含答案）

1. 已知二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象交x轴于A,B两点,交y轴于点D,点B的坐标为(3,0),

顶点C的坐标为(1,4).

(Ⅰ)求二次函数的解析式和直线BD的解析式;

(Ⅱ)点P是直线BD上的一个动点,过点P作x轴的垂线,交抛物线于点M,当点P在第一象限时,求线段PM长度的最大值;

(Ⅲ)在抛物线上是否存在异于B,D的点Q,使△BDQ中BD边上的高为22,若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

解:(Ⅰ)设二次函数的解析式为y=a(x－1)2＋4, ∵点B(3,0)在该二次函数的图象上, ∴0=a(3－1)2＋4, 解得a=－1,

∴二次函数的解析式为y=－x2＋2x＋3, ∵点D在y轴上, ∴令x=0,解得y=3, ∴点D的坐标为(0,3),

设直线BD的解析式为y=kx＋3, 把(3,0)代入得3k＋3=0,解得k=－1, ∴直线BD的解析式为y=－x＋3; (Ⅱ)设P点的横坐标为m(0＜m＜3), 则P(m,－m＋3),M(m,－m2＋2m＋3),

∴PM=－m2＋2m＋3－(－m＋3)=－m2＋3m=－(m－

329)＋, 24∴当m=

3时,PM取最大值, 29; 4∴PM长度的最大值为

(Ⅲ)存在.如解图,过点Q作QG∥y轴交BD于点G,作QH⊥BD交BD于点H, 设Q(x,－x2＋2x＋3),则G(x,－x＋3) ∴QG=|－x2＋2x＋3－(－x＋3)| =|－x2＋3x|,

∵△DOB是等腰三角形,

∴∠3=45°,∴∠2=∠1=45°,

QH2∴sin∠1==,

QG2∴QG=4, 得|－x2＋3x|=4,

当－x2＋3x=4时,b2－4ac=9－16=－7＜0,方程无实数根, 当－x2＋3x=－4时,解得x1=－1,x2=4, ∴Q1(－1,0),Q2(4,－5),

综上所述,存在满足条件的点Q,点Q的坐标为(－1,0)或(4,－5).

第1题解图

2. 已知抛物线y=

点为D.

(Ⅰ)试求点A,B,D的坐标;

(Ⅱ)连接CD,过原点O作OE⊥CD与抛物线的对称轴交于点E,求OE的长;

(Ⅲ)以(Ⅱ)中的点E为圆心,1为半径画圆,在对称轴右侧的抛物线上有一动点P,过点P作⊙E的切线,切点为Q,当PQ的长最小时,求点P的坐标. 解:(Ⅰ)由y=0得

1(x－3)2－1与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶21(x－3)2－1=0,解得x1=3－2,x2=3＋2, 2又∵点A在点B的左侧,

∴A点坐标为(3－2,0),B点坐标为(3＋2,0), 由抛物线解析式y=

1(x－3)2－1可得顶点D的坐标为(3,－1); 2(Ⅱ)如解图①,过点D作DG⊥y轴于点G,设CD与x轴交于点F,ED交x轴于点M, 由题意可得,∠DCG＋∠COF=90°,∠EOM＋∠COF=90°,

∴∠DCG=∠EOM, 又∵∠CGD=∠OME=90°, ∴△CDG∽△OEM, ∴

33CGDG=,即=,

2EMOMEM∴EM=2, ∴E点坐标为(3,2), ∴OE=3?2=13; (Ⅲ)如解图②,由⊙E的半径为1,由勾股定理得PQ2=EP2－1,要使切线长PQ最小,只需EP长最小,即EP2最小,

设P点坐标为(x,y),则PQ=x－3,EQ=2－y, ∴由勾股定理得EP2=(x－3)2＋(2－y)2,

221∵y=(x－3)2－1,

2∴(x－3)2=2y＋2,

∴EP2=2y＋2＋y2－4y＋4=(y－1)2＋5, 当y=1时,EP2为最小值,

1将y=1代入y=(x－3)2－1,得x1=5,x2=1,

2∴P点坐标为(1,1)或(5,1). ∵点P在对称轴右侧的抛物线上, ∴x2=1舍去, ∴P(5,1).

图① 图② 第2题解图 3. 已知抛物线y=－

1213x－x＋与x轴交于A,C两点(点A在点C的左边),直线y=kx＋b(k≠0)424分别交x轴,y轴于A,B两点,且除了点A之外,该直线与抛物线没有其他任何交点. (Ⅰ)求A,C两点的坐标; (Ⅱ)求k,b的值;

(Ⅲ)设点P是抛物线上的动点,过点P作直线y=kx＋b(k≠0)的垂线,垂足为H,交抛物线的对称轴于点D,求PH＋DH的最小值,并求出此时点P的坐标. 解:(Ⅰ)令y=0,即－解得x1=－3,x2=1,

∵点A在点C的左边,∴A(－3,0),C(1,0); (Ⅱ)把A(－3,0)代入y=kx＋b,得－3k＋b=0, 解得b=3k,

1213x－x＋=0, 4241213?y??x?x??联立?424,

??y?kx?b得－

1213x－x＋=kx＋b,即x2＋(2＋4k)x－3＋4b=0, 424∵直线y=kx＋b与抛物线有唯一公共点, ∴由根的判别式得(2＋4k)2－4(4b－3)=0,

把b=3k代入(2＋4k)2－4(4b－3)=0,得(2＋4k)2－4(12k－3)=0, 解得k=1, ∴b=3;

(Ⅲ)如解图,过点H作HG⊥对称轴于点G,过点P作PF⊥对称轴于点F,设直线AB与抛物线的对称轴交于点E,对称轴与x轴交于点M, 由题意知,抛物线对称轴为x=－1, 由(Ⅱ)知,直线AB的解析式为y=x＋3,

由直线AB知∠EAO=∠EHG=∠AEM=∠FPD=∠PDF=45°. 当x=－1时,y=x＋3=2,即E(－1,2).

1213设P(x,－x－x＋),则PF=FD=－1－x,

424ED=EM＋MF＋FD=2－(－PD=2FD=2(－1－x),

1213111x－x＋)＋(－1－x)=x2－x＋, 424424