2021年高等数学课件-第十五次课 20环境工程一本40

第十五次课 20环境工程一本40（56）人 ① 函数的极值和最值的概念 性质 计算方法 ② 函数的弧微分

③ 平面函数曲线的曲率 ----------------------+-

函数的极值概念、性质、求法 如何找出函数的极值点

1、疑似极值点={驻点、不可导点（导数不存在点）} 2、判断？ -------------------+- 判断方法：

第一充分条件：（针对）{驻点、不可导点（导数不存在点）} （连续函数）单调性发生改变的点一定是极值点. （连续函数）导函数的符号发生改变的点一定是极值点. 第二充分条件：（只针对驻点） 凹凸区间内的驻点一定是极值点： 凹区间内的驻点为极小值点 凸区间内的驻点为极大值点

最值概念、性质、求法：

函数在指定的闭区间上找最值？（一定有最大值最小值） 1、疑似最值点={驻点、不可导点、端点} 2、判断？比较函数值. 函数的最值点在区间的内部，则一定是极值点. 函数如果只有一个极值点一定是最值点. 举例：

1??y??x?1?3x2,x???1,?

2??解：y??3x2?211?x?1?3?3?5x?2??0，得驻点 3x3xx?2, 不可导点x?0 ，………. 5 举例

求点?0,a?到曲线x?4y的最近距离

2曲线上的点2y,y到?0,a?的距离

??d?4y??y?a?

计算函数D?y??4y??y?a???y?0?

22D??y??4?2?y?a???,得驻点y=?a??，

函数值d?4?a?2???a?2?a??4a?4?2a?1?a?2?

2如果a?2 驻点为

--------------------------+

曲线的弧微分：

直角坐标系下的弧微分：

y?f?x??s?x??AMds?1?y?2dx?1?f?2?x?dxds?1?f?2?x??dx

参数表示时候的弧长微分

1?tan2??sec2??sec??1cos???x???t?????y???t?ds??dx???dy??22????t?dt??????t?dt? 22???2?t????2?t??dt?ds???2?t????2?t?dt曲线的曲率：

曲率：量化平面曲线的弯曲程度的一个物理量，与切线的转角有关，与曲线的弧长有关

??K?lim??s?0?sf???x??1?f??x??232????d??lim?lim???s?0?s?s?0?sdsf???x?dx1?f?2?x?1?f?2?x??dx?f???x?

32?1?f??x??2??tan??f??x?? ?d?tan???d???f??x??2??ds?1?f??x??dxsec2?d??f???x?dx?d??f???x?dxsec2??f???x?dx1?tan2??f???x?dx 21?f??x?曲率圆：和曲线相切而且曲率一致的圆叫做曲线的曲率圆.

1?f??x???曲率圆半径：

232f???x?

2?y??1?y?2???f??2?x?1?y?2????Y?y?曲率圆方程?X?x? ??32??????yy??1?f??x?????2?y??1?y?2????x??y??曲率圆中心：?

21?y????y??y???

圆的曲率K?

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