?dy??2x?36、（本题满分10分）求微分方程?dx的特解。
??y|x?1?3解：将原方程化为 dy?(2x?3)dx
两边求不定积分，得 ?dy??(2x?3)dx，于是y?x2?3x?C 将y|x?1?3代入上式，有3?1?3?C，所以C??1， 故原方程的特解为y?x2?3x?1。
7、（本题满分9分）求函数 y?2x?4?cos5?x 的定义域。
?x?4?0解：由题意可得，?
5?x?0??x?4 解得?
?x?5所以函数的定义域为 [4，5]
8、（本题满分10分）设f(x)?x(x?1)(x?2)L(x?n)(n?2)，求f?(0)。 解：f?(0)?limx?0f(x)?f(0)
x?09、（本题满分10分）设平面曲线方程为x2?2xy?3y2?3，求曲线在点（2，1）处的切线方程。
解：方程两端对x求导，得2x?2(y?xy?)?6yy??0 将点（2，1）代入上式，得y?(2,1)??1 从而可得：切线方程为y?1??(x?2) 即x?y?3?0
10、（本题满分10分）求由曲线y?ex及直线y?1和x?1所围成的平面图形的面积（如下图）．
解：所求阴影部分的面积为S??(ex?1)dx
01?x x?011、（本题满分10分）讨论函数 f(x)??x 在 x?0 处的连续性。
?e?1 x?0x解： Q limf(x)?lime?1?0?f(0) ??x?0x?0∴f(x) 在x?0 处是连续的。
12、（本题满分10分）求方程(1?y2)dx?(1?x2)dy?0的通解。 解：由方程(1?y2)dx?(1?x2)dy?0，得
两边积分：?dydx? ?221?y1?x得arctany?arctanx?C
所以原方程的通解为：arctany?arctanx?C或y?tan(arctanx?C) 13、（本题满分10分）证明方程x5?7x?4在区间(1,2)内至少有一个实根。 解：令F(x)?x5?7x?4， F(x)在?1,2?上连续
F(1)??10?0，
由零点定理可得，在区间(1,2)内至少有一个?，使得函数
F(?)??5?7??4?0，
即方程x5?7x?4?0在区间(1,2)内至少有一个实根。
14、（本题满分10分）设f(x)?x(x?1)(x?2)L(x?2015)，求f?(0)。 解：f?(0)?limx?0f(x)?f(0)?lim(x?1)(x?2)L(x?2015)?2015! x?0x?015、（本题满分10分）求曲线ey?xy?e在点（0，1）处的法线方程。
解：方程两端对x求导，得eyy??y?xy??0
1将点（0，1）代入上式，得y?(0,1)??
e从而可得： 法线方程为y?ex?1
?16、（本题满分10分）求曲线y?cosx与直线y?2,x?y=2 及y轴所围成平面图形的面积。
2 2解：作平面图形，如图示
???x? S??2(2?cosx)dx ?(2x?sinx)200 0 y=cosx 2y=2 x ?cosx x?017、（本题满分10分）讨论函数 f(x)?? 在 x?0 处的连续性。
x?1 x?0?解： Q limf(x)?limcosx?1?f(0) ??x?0x?0∴f(x) 在x?0 处是连续的。
?dy22??1?x?y?xy18、（本题满分10分）求微分方程?dx的特解。
??y|x?0?1dydy?(1?x)dx ?(1?x)(1?y2)或21?ydx1两边求不定积分，得arctany?x?x2?C
2解：将原方程化为
由y|x?0?1得到C??4
12?1?x?或y?tan(x?x2?). 2424故原方程的特解为arctany?x?19、（本题满分20分）
曲线a2y?x2(0?a?1)将边长为1的正方形分成A、B两部分(如图所示)，其中A绕x轴旋转一周得到一旋转体,记其体积为VA，B绕y轴旋转一周得到另一旋转体,记其体积为VB.问当a取何值时,VA?VB的值最小.x2解：A由以[0,a],为底、高为2的曲边梯形和
aya2y?x21由切片法可得：
又根据问题的实际意义F(a)的最小值存在, F(a)驻点唯一，4?a?就是F(a)的最小值点.
5B或
者,又F??(a)4a?5???0,?a?4 为极小值点，亦最小值.点，5oAa1x20、（本题满分20分） 假定足球门的宽度为4米，在距离右门柱6米处一球员沿垂直于底线的方向带球前进，问：该球员应在离底线多少米处射门才能获得最大的射门张角?？若球员以5.2米每秒的速度沿垂直于底线的方向向球门前进，求在距离底线2米处，射门张角的变化率。
解：由题意可得张角?与球员距底线的距离x满足 令
d??0，得到驻点x??60(不合题意，舍去) 及 x?60. 由实际意义可知 , 所求最dx值存在, 驻点只一个, 故所求结果就是最好的选择. 即该球员应在离底线60米处射门才能获得最大的射门张角。若球员以5.2米每秒的速度跑向球门，则两米处射门张角的变化率为：
d?dt?x?2dx??5.2. 在距离球门dtd?dx? x?2dxdtx?x?2240?16?(?5.2)??0.28(弧度/秒)。
(4?36)(4?100)21、（本题满分10分）设f(x)??1ln(1?t)1dt(x?0)，求f(x)?f() tx1xln(1?t)1ln(1?t)dt??xdt，则F(1)?0 解法1设F(x)?f(x)?f()??11xtt1解法2Qf()??x1x11ln(1?)xxln(1?u)xlnuln(1?t)udt???du???du??du111tuuu令t=1u
??lntd(lnt)?1x12x1lnt?ln2x . 21222、证明题（本题满分10分）
设函数f(x)在?0,3?上连续,在?0,3?内可导, f(0)?f(1)?f(2)?3，f(3)?1。试证 必存在一点???0,3?，使得f?????0.
证明: f(x)在?0,3?上连续，故在?0,2?上连续，且在?0,2?上有最大值M和最小值m，故
f(0)?f(1)?f(2)?M
3f(0)?f(1)?f(2)由介值定理得，至少存在一点???0,2?，使得f(?)??1
3m?f(0),f(1),f(2)?M?m?Qf(?)?f(3)?1，且f(x)在??,3?上连续,在??,3?内可导，
由罗尔定理可知，必存在????,3??(0,3)，使得f?????0
23、（本题满分20分）一火箭发射升空后沿竖直方向运动，在距离发射台4000m处装有摄像机，摄像机对准火箭。用h 表示高度，假设在时刻t0 ，火箭高度h=3000m，运动速度等于300m/s,（1） 用L表示火箭与摄像机的距离，求在t0时刻L的增加速度.
【解】（1）设时刻t高度为h(t)，火箭与摄像机的距离为L(t)，则L(t)?h2(t)?40002 两边关于t求导得
dL?dtdh 22dth?4000h代入h=3000m，
dhdL=300m/s，得 ?180 m/s dtdt（2） 用?表示摄像机跟踪火箭的仰角（弧度），求在t0时刻?的增加速度. ? ?
（2）设时刻t摄像机跟踪火箭的仰角（弧度）为?(t)，则有tan??两边关于t求导得 sec2?d?1dh ?dt4000dth 4000当h=3000m时，sec??5dhd?d?6，=300m/s，故 ?0.048rad/s (或?rad/s) 4dtdtdt125《高等数学（一）》期末复习题答案
一、选择题
1、C 解答：第一步，先分子有理化；第二步，分子利用平方差公式，第三步，分子分母同
时除以x；第四步化简即可。 2、B 解答：设f(x)?x3?3x?1，则f(0)?1,f(1)??1，有零点定理得f(x)在区间(0,1)内存在
2实数根，又因f?(x)?3x?3?0，可知函数具有单调性，所以有唯一的实根。
3、C 本题考察不定积分的概念，不定积分是所有原函数的全体。 4、C解答：利用定积分的几何意义，所求面积为?sinxdx?2
0?5、D 解答：直接积分法y?13x?C，代入已知点坐标可得C?2 3 6、A解答：因为limlnx?ln1?0，所以此时是无穷小量。
x?1117、C 解答：lim(xsin?sinx)?0?1??1
x?0xx 8、A 解答：因为y??ex?1?0，所以单调增加。 21?x 9、D 解答：?x1111122dx?dx?d(x?1)?ln(x2?1)?C 222??x?12x?12x?12110、A解答：利用定积分的几何意义，所求面积为?exdx?ex01?e?1 011、B 解答：先分离变量，两端再积分 所求通解为y?Ce12x2
相关推荐：
loading