2020-2021备战中考数学——反比例函数的综合压轴题专题复习含答案

2020-2021备战中考数学——反比例函数的综合压轴题专题复习含答案

一、反比例函数

1．平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y= （k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且

B、D

两点关于原点对称，AD

交

y

轴于

P

点

（1）已知点A的坐标是（2，3），求k的值及C点的坐标；

（2）在（1）的条件下，若△APO的面积为2，求点D到直线AC的距离．

【答案】（1）解：∵点A的坐标是（2，3），平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比

例函数y= （k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称， ∴3= ，

点C与点A关于原点O对称， ∴k=6，C（﹣2，﹣3），

即k的值是6，C点的坐标是（﹣2，﹣3）；

（2）解：过点A作AN⊥y轴于点N，过点D作DM⊥AC，如图，

∵点A（2，3），k=6， ∴AN=2，

∵△APO的面积为2， ∴

， ，得OP=2，

即

∴点P（0，2），

设过点A（2，3），P（0，2）的直线解析式为y=kx+b，

，得

，

∴过点A（2，3），P（0，2）的直线解析式为y=0.5x+2， 当y=0时，0=0.5x+2，得x=﹣4， ∴点D的坐标为（﹣4，0），

设过点A（2，3），B（﹣2，﹣3）的直线解析式为y=mx+b，

则 ，得

，

∴过点A（2，3），C（﹣2，﹣3）的直线解析式为y=1.5x，

∴点D到直线AC的直线得距离为： =

．

【解析】【分析】（1）根据点A的坐标是（2，3），平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y= （k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，可以求得k的值和点C的坐标；（2）根据△APO的面积为2，可以求得OP的长，从而可以求得点P的坐标，进而可以求得直线AP的解析式，从而可以求得点D的坐标，再根据点到直线的距离公式可以求得点D到直线AC的距离．

2．如图，已知直线y=ax+b与双曲线y= （x＞0）交于A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）两点（A与B不重合），直线AB与x轴交于P（x0 ， 0），与y轴交于点

C．

（1）若A，B两点坐标分别为（1，3），（3，y2），求点P的坐标． （2）若b=y1+1，点P的坐标为（6，0），且AB=BP，求A，B两点的坐标．

（3）结合（1），（2）中的结果，猜想并用等式表示x1 ， x2 ， x0之间的关系（不要求证明）．

【答案】（1）解：∵直线y=ax+b与双曲线y= ∴y=

，

（x＞0）交于A（1，3）， ∴k=1×3=3，

∵B（3，y2）在反比例函数的图象上， ∴y2= =1， ∴B（3，1），

∵直线y=ax+b经过A、B两点，

∴ 解得

，

∴直线为y=﹣x+4， 令y=0，则x=4， ∴P（4，O）

（2）解：如图，作AD⊥y轴于D，AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，BG⊥y轴于G，AE、BG交于H， 则AD∥BG∥x轴，AE∥BF∥y轴， ∴

=

，

=

=

，

∵b=y1+1，AB=BP，

， ， ，

y1）

∴ =

= ∴B（

=

∵A，B两点都是反比例函数图象上的点， ∴x1?y1= 解得x1=2，

y1 ，

?

代入 =

，解得y1=2，

∴A（2，2），B（4，1）

（3）解：根据（1），（2）中的结果，猜想：x1 ， x2 ， x0之间的关系为x1+x2=x0

【解析】【分析】（1）先把A（1，3）），B（3，y2）代入y= 求得反比例函数的解析式，进而求得B的坐标，然后把A、B代入y=ax+b利用待定系数法即可求得直线的解析式，继而即可求得P的坐标；（2）作AD⊥y轴于D，AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，BG⊥y轴于G，AE、BG交于H，则AD∥BG∥x轴，AE∥BF∥y轴，得出 = ， = = ，根据题意得出 出x1?y1=

= ， = = ，从而求得B（ ? y1 ， 求得x1=2，代入

， y1），然后根据k=xy得

= ，解得y1=2，即可求得A、B的坐

标；（3）合（1），（2）中的结果，猜想x1+x2=x0 ．

3．如图直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在x轴上，点B，D的坐标分别为B（1，0），D（3，3）．

（1）点C的坐标________；

（2）若反比例函数y= （k≠0）的图象经过直线AC上的点E，且点E的坐标为（2，m），求m的值及反比例函数的解析式；

（3）若（2）中的反比例函数的图象与CD相交于点F，连接EF，在直线AB上找一点P，使得S△PEF= S△CEF ， 求点P的坐标． 【答案】（1）（3，0） （2）解：∵AB=CD=3，OB=1， ∴A的坐标为（1，3），又C（3，0）， 设直线AC的解析式为y=ax+b，

则 ，解得：

，

∴直线AC的解析式为y=﹣ x+ ． ∵点E（2，m）在直线AC上，

∴m=﹣ ×2+ = ， ∴点E（2， ）．

∵反比例函数y= 的图象经过点E， ∴k=2× =3，

∴反比例函数的解析式为y=

（3）解：延长FC至M，使CM= CF，连接EM，则S△EFM= S△EFC ，

在y= 中，当x=3时，y=1， ∴F（3，1）．

过点M作直线MP∥EF交直线AB于P，则S△PEF=S△MEF ． 设直线EF的解析式为y=a'x+b'，

∴

，解得

，

∴y=﹣ x+ ．

设直线PM的解析式为y=﹣ x+c， 代入M（3，﹣0.5），得：c=1， ∴y=﹣ x+1． 当x=1时，y=0.5， ∴点P（1，0.5）． 同理可得点P（1，3.5）．

∴点P坐标为（1，0.5）或（1，3.5）．

（3，﹣0.5）． M