江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题
（209）（无答案）
第一试
一、填空题（每小题8分，共64分）
1.函数f(x)的定义域为D，若（1）f(x)在D内是单调函数，（2）存在区间?a,b??D，使得f(x)在区间?a,b?上的值域是?a,b?，则称y?f(x)为闭函数。若f(x)?函数，则k的取值范围是 。
2.掷六次色子，令第i次得到的数为ai。若存在正整数k，使得
x?2?k为闭
?ai?6的概率p?i?1kn，其m中，m、n为互素的正整数，则log6m?log7n? 。
3.设向量??(x?3,x),??(2sin?gcos?,asin??acos?)满足对任意x?R和
??????0,?，均有????2。则实数a的取值范围是 。
?2?4.对任意的x、y?R，函数f(x,y)均满足（1）f(0,y)?y?1（2）f(x?1,0)?f(x,1)（3）
f(x?1,y?1)?f(x,f(x?1,y))。则f(3,2016)? . 5.设集合S??1,2,…,12?，A=?a1,a2,a3?满足a1?a2?a3,a3?a2?5,A?S.则满足条件的集合A的个数为 。
6.设?fn?(n?0)为Fibonacci数列，定义如下：
f0?1,f1?1,fn?1?fn?fn?1(n?1,2,…)则方程nfnfn?1?(fn?2?1)2的解集为
7.一个球外接于四面体ABCD，另一个半径为1的球与平面ABC相切，且两球内切于点D。若
41AD?3,cos?BAC?,cos?BAD?cos?CAD?，则四面体ABCD的体积为 。
52x2y28.设P为椭圆2?2?1(a?b?0)上任意一点，F1、F2为椭圆的焦点，PF1、PF2分别与
ab椭圆交于A、B两点，则
PF1PF2?? . F1AF2B- 1 -
二、解答题
9.设n为正整数，集合M??1,2,…，2n?，求最小的正整数k，使得对于集合M的任何一个k元子集，其中必有四个互不相同的元素之和为4n?1。
10.已知两个整数数列a0,a1,…和b0,b1,…满足 （1）对任意非负整数n，有an?2?an?2； （2）对任意非负整数m、n，有am+an?bm2?n2 证明：数列a0,a1,…中最多只有六个不同的数。
x2y2??1中，F1、F2分别为双曲线C的左、右两个焦点，P为双曲线上且11.在双曲线C：
45
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在第一象限内的点，?PF1F2的重心为G，内心为I。 （1）是否存在一点P，使得IG//F1F2？
（2）设A为双曲线C的左顶点，直线l过右焦点F2，与双曲线C交于M、N两点，若AM、AN的斜率k1、k2满足k1+k2??
加试
一、设圆内接四边形ABCD的对角线AC与BD交于点K，在?AKD内存在一点P，使得
1，求直线l的方程。 2?APC?900??ADC,?BPD?900??BAD.证明：点P在四边形ABCD四条边上的射影
构成的四边形的对角线互相垂直。
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二、已知函数f(x,y,z)?5x?1?5y?1?5z?1。求最大的实数?，使得对于任何满足
x?y?z?4的正数x、y、z,均有f(x,y,z)??
三、将Nk(N、k?Z?,N?2)颗珠子分成2N-1堆。若通过每次从其中N堆中各取走一颗珠子，而最后取完，则称这样的分法为“和谐的”。试给出和谐分法的充分必要条件，并加以证明。
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s(kn2)(k、n?Z?)。证四、记s(x)表示正整数x在十进制下的各位数码之和。定义fk(n)?s(n3)明：对任意的k?Z?，存在无穷多个n?Z?,n?2,使得fk(n)?min1?i?n?1?fk(i)?
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