易错点8 对线面位置关系不能正确应用定理作出判断
如果两条平行直线a，b中的a∥α，那么b∥α.这个命题正确吗？为什么？
【错解】这个命题正确．
∵a∥α，∴在平面α内一定存在一条直线c，使a∥c. 又∵a∥b，∴b∥c，∴b∥α.
【错因分析】忽略了b?α这种情况，从而导致错误，本题条件中的直线b与平面α有两种位置关系：b∥α和b?α.
【试题解析】这个命题不正确．
若b?α，∵a∥α，∴在平面α内必存在一条直线c，使a∥c. 又∵a∥b，∴b∥c，∴b∥α. 若b?α，则不满足题意．
综上所述，b与α的位置关系是b∥α或b?α. 【参考答案】见试题解析.
错误的原因是利用线面平行的判定定理时，忽略了定理使用的前提条件必须是平面外的一条直线与平面内的一条直线平行．
1．点、线、面之间的位置关系可借助正方体为模型，以正方体为主线，直观感知并认识空间点、线、面的位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直． 2．熟练应用线面位置关系中的判定定理与性质定理即可顺利解决此类问题.
8．下列命题中，错误的是
A．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交 B．平行于同一直线的两个平面一定平行
C．如果平面?不垂直于平面?，那么平面?内一定不存在直线垂直于平面? D．若直线l不平行于平面?，且l不在平面?内，则在平面?内不存在与l平行的直线 【答案】B
【解析】由直线与平面相交的性质，知一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交，故A正确；平行于同一直线的两个平面有两种位置关系，可能平行，也可能相交，B错误；如果一个平面?内存在直线垂直于平面?，则平面?一定垂直于平面?，故C正确．若直线l不平行于平面?，且
l不在?内，则l与?相交，则在平面?内不存在与l平行的直线.故选B．
易错点9 证明线面位置关系时不能正确应用定理致错
如图，a∥b，点P在a,b所确定的平面γ外，PA?a于点A，AB?b于点B. 求证：PB?b.
【错解】因为PA?a，a∥b，所以PA?b. 所以PA??，所以PB?b.
【错因分析】本题错解的原因在于没有正确使用线面垂直的判定定理，由PA?a,PA?b, 得PA??，而忽略了“垂直于平面内两条相交直线”这一条件，即aIb??. 【试题解析】因为PA?a,a∥b，所以PA?b. 又AB?b,PAIAB?A，所以b?平面PAB. 因为PB?平面PAB，所以PB?b. 【参考答案】见试题解析.
应用直线与平面垂直的判定定理时，要熟记定理的应用条件，不能忽略“两条相交直线”这一关键点.
1．判断或证明线面平行的常用方法有： ①利用线面平行的定义(无公共点)；
②利用线面平行的判定定理(a??,b??,a∥b?a∥?)； ③利用面面平行的性质(?∥?,a???a∥?)；
④利用面面平行的性质(?∥?,a??,a??,a∥??a∥?). 2．判定面面平行的常见策略：
①利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)． ②利用面面平行的判定定理(主要方法)．
③利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)．
④利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用). 3．证明直线和平面垂直的常用方法： ①线面垂直的定义； ②判定定理；
③垂直于平面的传递性(a∥b,a???b??)； ④面面平行的性质(a??,?∥??a??)； ⑤面面垂直的性质． 4．判定面面垂直的常见策略： ①利用定义(直二面角)．
②判定定理：可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直．
③在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，则一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直．
9．如图，在四棱锥P?ABCD中，AD∥BC，且PA?PD?2，AD?2BC?22，PA?CD，点E在
PC上，且PE?2EC．
（1）求证：平面PAD⊥平面PCD； （2）求证：直线PA∥平面BDE． 【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）因为PA?PD?2，AD?22， 所以PA2?PD2?AD2，所以PA?PD，
又PA?CD，且PDICD?D，PD?平面PCD，CD?平面PCD， 所以PA?平面PCD， 又PA?平面PAD， 所以平面PAD?平面PCD.
（2）连接AC交BD于点F，连接EF， 在四边形ABCD中，AD∥BC，AD?2BC，
ADAF??2， BCFCPEAF?2?又PE?2EC，即， ECFC△ADF∽△CBF，所以
所以PA∥EF，
又直线EF?平面BDE，直线PA?平面BDE， 所以直线PA∥平面BDE.
【名师点睛】（1）证明面面垂直：先正线面垂直，线又属于另一个面，即可证明面面垂直；（2）证明线面平行，在面内找一个线与已知直线平行即可.
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