§7.4 万有引力理论的成就
【学习目标】 1. 2. 3.
了解万有引力定律在天文学上的重要应用。 会用万有引力定律计算天体的质量。
理解并运用万有引力定律处理天体问题的思路、方法。
【知识梳理】 1.科学真是迷人
如果______________的影响，地面上质量为m的物体受到重力等于__________，即mg=______________，由此得地球的质量表达式为______________。已知g=10m/s, R=6371km, G=6.67×10N·m/kg,则地球的质量约为______________kg。 2.计算天体的质量
（1）计算太阳的质量：将______________的运动近似看作匀速圆周运动，向心力由______________提供，其牛顿第二定律方程是______________，由此得太阳的质量为______________。
（2）测量天体质量的主要方法是______________。 3.发现未知天体
海王星是在______年____月____日发现的，发现过程是：发现________的实际运动轨道与______________的轨道总有一些偏差，根据观察到的偏差数据和万有引力定律计算出______________，并预测可能出现的时刻和位置；在预测的时间去观察预测的位置。 海王星与冥王星发现的重要意义在于___________________________________。 【小试身手】
1.下面说法正确的是（ ）
A．海王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的 B．天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的
C．天王星的运动轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道，其原因是由于天王星受到轨道外面其他行星的引力作用
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D．冥王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的
2.一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅需要（ ） A．测定飞船的运动周期 B．测定飞船的环绕半径 C．测定行星的体积 D．测定飞船的运动速度
3. 若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球公转周期和公转轨道半径分别为t和r，则太阳质量与地球质量之比M日/M地为（ ）
R3t2R3T2R2T3R2t3A．32 B．32 C．23 D．23
rTrTrtrt4.若已知行星绕太阳公转的半径为r，公转的周期为T，万有引力常量为G，则由此可求出（ ）
A．行星的质量 B．太阳的质量 C．行星的密度 D．太阳的密度 【基础训练】
例1 某行星的平均密度是ρ，靠近行星表面的卫星的周期是T，试证明ρT为一个常数。 分析：将行星看做一个球体，卫星绕行星做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供。 解:设半径为R，则密度ρ与质量M、体积V的关系为M??V??对卫星，万有引力提供向心力
2
43?R 3Mm4?由G2＝mR2，得GRT整理得?T22??R343R24?2?R2
T?3?为一常量。 G2
例2 地球半径R＝6400km，地面的重力加速度g＝9.8m/s,地核的体积约为整个地球体积的16%，地核的质量约为地球质量的34%，试估算地核的平均密度。 解：不计地球自转的影响，地球对物体的引力即为物体的重力，即
MmgR2mg?G2，所以，地球的质量为：M?
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地球的平均密度为： ??MM3g?? 434?GRV?R3?3?9.8333kg/m ?5.5?10kg/m4?3.14?6.67?10－11?6.4?106设地核的质量为M′,体积为V′，平均密度为ρ′，则
??M?V34??? ?MV?16%8所以，地核的平均密度为
???1717???5.5?103kg/m3 88 ?1.2?104kg/m3
5.地球表面的平均重力加速度为g，地球半径为R，万有引力常量为G，用上述物理量估算出来的地球平均密度是（ ）
3gA．4?RG 3g2 B．4?RG g C．RG g2 D．RG
6.由于地球的自转，下列说法中正确的是（ ） A．物体所需向心力随其所在位置的纬度的增大而减小 B．物体所需的向心力就等于地球对它的引力 C．物体所需的向心力就等于物体所受的重力
D．物体所需的向心力由物体本身质量决定，与其它因素无关
7. 组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率，如果超过了该速率，则星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动，由此能得到半径为R、密度为ρ、质量为M且均匀分布的星球的最小自转周期T。下列表达式中正确的是（ ）
R33R3A. T?2? B. T?2?
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C. T?2??3? D. T? G??G8. 设想人类开发月球，不断地把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采后，地球仍可看作是均匀球体，月球仍沿开采前的圆轨道运动，则与开采前相比( ) A.地球与月球间的万有引力将变大 B.地球与月球间的万有引力将变小 C.月球绕地球运动的周期将变长 D.月球绕地球运动的周期将变短
9. 高空遥感探测卫星在距地球表面高为h处绕地球转动，如果地球质量为M，地球半径为R，人造卫星质量为m，万有引力常量为G，试求： （1）人造卫星的线速度多大？
（2）人造卫星绕地球转动的周期是多少？ （3）人造卫星的向心加速度多大？
【名师小结】
万有引力定律应用图表
项目 内容 说明或提示 研究天体运动时，太阳系中的八大行星及其卫星的运动都可以看作匀速圆周运动．它们做匀速圆周运动的向心力就是它们受到的万有引研究天体 运动的应用公式 MmG2?m?2r? rm?2r?m24?r? 2T2m(2?n)r 力． 第4页（共7页）
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