专题检测（二十二） 第20题解答题“圆锥曲线的综合问题”专练
1.(2018届高三·广东五校协作体诊断考试)若椭圆
x2a2＋y2b2
＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2＝2bx的焦点F分成了3∶1的两段．
(1)求椭圆的离心率；
(2)过点C(－1,0)的直线l交椭圆于不同两点A，B，且―→AC
＝2
AOB的面积最大时，求直线l的方程．
b?b?
解：(1)由题意知，c＋2＝3??c－2??，
所以b＝c，a2＝2b2， c
?所以e＝a
＝
1－?b??a?2?
2＝2. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝ky－1(k≠0)， 因为―→AC＝2―→
CB，所以(－1－x1，－y1)＝2(x2＋1，y2)， 即y1＝－2y2， ①
由(1)知，椭圆方程为x2＋2y2＝2b2.
??x＝ky－1，由??
消去x， ?x2＋2y2＝2b2
得(k2＋2)y2－2ky＋1－2b2＝0， 2k
所以y1＋y2＝k2＋2
， ②
2k
4k
由①②知，y2＝－k2＋2，y1＝k2＋2，
11
因为S△AOB＝2|y1|＋2
|y2|，
|k|
1
所以S△AOB＝3·k2＋2＝3·2
|k|
＋|k|
―→CB
，当
△
≤3·21·|k||k|2
＝34
2，
当且仅当|k|2＝2，即k＝±2时取等号， 此时直线l的方程为x－
2y＋1＝0或x＋x2a2
2y＋1＝0.
y2b2
2．已知椭圆C：＋
＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，且长轴长为8，T为椭圆上任意一点，直线TA，TB3
的斜率之积为－.
4
(1)求椭圆C的方程；
(2)设O为坐标原点，过点M(0,2)的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求―→―→＋MP·MQ的取值范围．
解：(1)设T(x，y)，由题意知A(－4,0)，B(4,0)， 设直线TA的斜率为k1，直线TB的斜率为k2， 则k1＝，k2＝. x＋4x－4
3yy3
由k1k2＝－，得·＝－，
4x＋4x－44
x2
y2y
y
―→
OP
·
―→OQ
整理得＋＝1.
1612
x2
y2
故椭圆C的方程为＋＝1.
1612
(2)当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋2，点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
x2y2
??16＋12＝1，
联立方程?
??y＝kx＋2
消去y，
得(4k2＋3)x2＋16kx－32＝0.
所以x1＋x2＝－，x1x2＝－.
4k2＋34k2＋3
―→―→―→―→
从而，OP·OQ＋MP·MQ＝x1x2＋y1y2＋[x1x2＋(y1－2)(y2－2)]＝2(1＋k2)x1x2＋2k(x1
－80k2－528＋x2)＋4＝＝－20＋. 4k2＋34k2＋3
52―→―→―→―→
所以－20＜OP·OQ＋MP·MQ≤－.
3
―→―→―→―→
当直线PQ的斜率不存在时，OP·OQ＋MP·MQ的值为－20.
16k32
?52?―→―→―→―→综上，OP·OQ＋MP·MQ的取值范围为?－20，－?.
3??
3．已知椭圆P的中心O在坐标原点，焦点在x轴上，且经过点A(0,2(1)求椭圆P的方程；
(2)是否存在过点E(0，－4)的直线l交椭圆P于点R，T，且满足16
＝？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由． 7
x2
y2
―→OR
·
―→OT
1
3)，离心率为.
2
解：(1)设椭圆P的方程为＋＝1(a>b>0)，
a2b2
1
3，e＝＝，
a2
c
由题意得b＝2∴a＝2c，b2＝a2－c2＝3c2，∴c2＝4，c＝2，a＝4， ∴椭圆P的方程为＋＝1.
1612
―→―→
(2)假设存在满足题意的直线l，易知当直线l的斜率不存在时，OR·OT<0，不满足题意．
故可设直线l的方程为y＝kx－4，R(x1，y1)，T(x2，y2)． ―→―→16∵OR·OT＝，
716
∴x1x2＋y1y2＝.
7
x2
y2
y＝kx－4，??由?x2y2
＋＝1?16?12
消去y，
得(3＋4k2)x2－32kx＋16＝0， 由Δ>0得(－32k)2－64(3＋4k2)>0， 1解得k>.①
4
2
∵x1＋x2＝，x1x2＝，
3＋4k23＋4k2
∴y1y2＝(kx1－4)(kx2－4)＝k2x1x2－4k(x1＋x2)＋16， 16
故x1x2＋y1y2＝＋－＋16＝，
3＋4k23＋4k23＋4k27解得k2＝1.② 由①②解得k＝±1， ∴直线l的方程为y＝±x－4.
故存在直线l：x＋y＋4＝0或x－y－4＝0满足题意． 4．(2018
届高三·云南
11
校跨区调研)已知椭圆E：
x2a2
＋
y2b2
16
16k2
128k2
32k16
＝1(a>b>0)的离心率为方程2x2－3x＋1＝0的解，点A，B分别为椭圆E的左、右顶点，点C在E上，且△ABC面积的最大值为2
(1)求椭圆E的方程；
(2)设F为E的左焦点，点D在直线x＝－4上，过F作DF的垂线交椭圆E于M，N两点．证明：直线OD把△DMN分为面积相等的两部分．
1
解：(1)方程2x－3x＋1＝0的解为x1＝，x2＝1，
2
2
3.
1
∵椭圆离心率e∈(0,1)，∴e＝，
2
??由题意得?ab＝23，
??a2＝b2＋c2，
1
＝，a2
c
??a＝2，解得?
??b＝3，
x2y2
∴椭圆E的方程为＋＝1.
43
(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(－4，n)，线段MN的中点为P(x0，y0)， 故2x0＝x1＋x2,2y0＝y1＋y2， 由(1)可得F(－1,0)，
则直线DF的斜率为kDF＝错误!＝－错误!，
当n＝0时，直线MN的斜率不存在，根据椭圆的对称性可知OD平分线段MN. 3y1－y2
当n≠0时，直线MN的斜率kMN＝＝，
nx1－x2∵点M，N在椭圆E上，
??∴?x22y22??4＋3＝1，
x21
y21
＋＝1，43
整理得错误!＋错误!＝0， 又2x0＝x1＋x2,2y0＝y1＋y2， x02y03y0n∴＋·＝0，即＝－， 23nx04
n
即直线OP的斜率为kOP＝－，
4
n
又直线OD的斜率为kOD＝－，∴OD平分线段MN.
4综上，直线OD把△DMN分为面积相等的两部分．
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