2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M?x?4?x?2，N?{xx?x?6?0?，则M?N=（ ）
2??A. {x?4?x?3? B. {x?4?x??2? C. {x?2?x?2? D. {x2?x?3?
2.设复数z满足z?i=1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则（ ） A. (x+1)?y?1 B. (x?1)?y?1
2222C. x?(y?1)?1
22D. x?(y+1)?1
220.20.33.已知a?log20.2,b?2,c?0.2，则（ ）
A. a?b?c
B. a?c?b
C. c?a?bD. b?c?a
4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5?12（5?1≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体25?1．若某人满足上述两个黄金分割2的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是（ ）
A. 165 cm 5.函数f(x)=
B. 175 cm C. 185 cm D. 190cm
sinx?x在[—π，π]的图像大致为（ ）
cosx?x2
B.
A.
C. D.
6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（ ）
A.
5 16B.
11 32C.
21 32D.
11 167.已知非零向量a，b满足A.
π 6a=2b，且（a–b）?b，则a与b的夹角为（ ）
B.
π 3C.
2π 3D.
5π 618.如图是求2?112?2的程序框图，图中空白框中应填入（ ）
1 2?A1A=1?
2AA. A=
B. A=2?1 AC. A=
1
1?2AD.
9.记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4?0，a5?5，则（ ）
an?3n?10 C. Sn?2n2?8n D. Sn?A. an?2n?5 B. 12n?2n 210.已知椭圆C的焦点为F1(?1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若
│AF││F2B││AB│?│BF│，2?21，则C的方程为（ ）
x2x2y22A. ??1 ?y?1 B.
322x2y2C. ??1
43x2y2??1 D. 54（ ） 11.关于函数f(x)?sin|x|?|sin x|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（
?,?）单调递增 2③f(x)在[??,?]有4个零点 ④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A. ①②④
B. ②④
C. ①④
D. ①③
12.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，PB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为（ ） A. 86?
B. 46?
C. 26?
D.
6?
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.曲线y?3(x?x)e在点(0,0)处的切线方程为___________．
2x14.记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1?，a4?a6，则S5=____________．
15.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．
132x2y216.已知双曲线C：2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的
abruuuruuuruuuruuuB两点．两条渐近线分别交于A，若F则C的离心率为____________． F1B?F2B?0，1A?AB，三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
22B，C的对边分别为a，b，c，设(sinB?sinC)?sinA?sinBsinC． 17.VABC的内角A，
（1）求A；
（2）若2a?b?2c，求sinC．
18.如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A-MA1-N的正弦值．
19.已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为点为P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
3的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交2uuuruuur（2）若AP?3PB，求|AB|．
20.已知函数f(x)?sinx?ln(1?x)，f?(x)为f(x)的导数．证明：
（1）f?(x)在区间(?1,?2)存在唯一极大值点；
（2）f(x)有且仅有2个零点．
21.为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得?1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得?1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X． （1）求X的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i?0,1,L,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0?0，p8?1，
pi?api?1?bpi?cpi?1(i?1,2,L,7)，其中a?P(X??1)，b?P(X?0)，c?P(X?1)．假设??0.5，??0.8．
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