实用标准文案
证明（三）（田开斌老师）作CJ//BD交AD于J，所以CJ?BD?CE,?JCE??BDC??BCE,
?AFC?90???DAC?90???DBC?90???ECB??JEC,所以 J、F、E、C四点共圆，因为JC?EC,所以?AFC??EFC
AJ
BFDMCE例7、 已知AD是?ABC角平分线交BC于D，?ABD、?ACD、?ABC外心分别是
O1、O2、O,求证O1O=OO2
O1AAO1O2OO2OBDCBDC证明易知?O1AB?90???AO1O?90???ADC?90???B?1BAC??OAC??DAC
2??OAD，?BAO?90??1AOB?90???C??DAO2,所以?O1AO=?O2AO（1），又
2?AOO??ADC、?AO2O??ADB，于是?AOO180?，所以 11+?AO2O??ADC+?ADB=A、O1、O2、O四点共圆，根据（1）得到O1O=OO2
证明（二）记?ABC三角A、B、C，设直线BO1、CO2交于E，?BCE??C??ACO2
??C?(90???ADC)??C?(90???B?1?A)?B?C?A,同理·?EBC?B?C?A,所以
222??ADC、?CO2O??ADB，?BOO180? BE?CE，?BOO11+?CO2O??ADC+?ADB=E文档
A实用标准文案
所以E、O1、O2、O四点共圆得到O1O=OO2
例8、已知 ⊙P、⊙O交于A、B,四边形ABCD是平行四边形，C在⊙O上，PF?BC交AB于F,直线CF交⊙O于G. 求证 E、G、D、C 四点共圆 ADAKD P GPOFCGFOCBE BE证明 延长DA交⊙P于点K,连接KE、KB，易知AKBE是等腰梯形，DKEC是等腰梯形，CF?FG?AF?FB?EF?FK,所以K、G、E、C四点共圆，因此
K、G、E、C、D五点共圆,进而E、G、D、C四点共圆
例9、已知O、I 分别是?ABC外心，内心，求证OI?AI的充要条件是
AB?AC?2BC,
文档 AAOOICICBDB实用标准文案
证明 延长AI交圆O于D,根据托勒密定理，AB?DC+AC?BD =AD?BC(1),因为OI⊥AI，所以AI=ID,由（1）得： （AB+AC)?BD=BC?2DI,因为∠BID=∠IBD,于是BD=DI, 所以AB+AC=2BC
此题，若O，I分别是△ABC外心，内心，AB+AC=2BC， 求证 OI⊥AI 证明方法是一样的
例10、P为?ABC外接圆上一点，P在BC、AC上的射影为D、E.点L、M分别是AD、BE中点。证明DE?LM.
AA LCEPNLCEP DMDBMB
证明 取AB中点N，连接MN、NL、AP、BP,易知?BPD∽?APE，所以DP?BD,
PEAE所以DP?NL,可知?MNL∽?EPD,所以DE?LM
PEMN文档
实用标准文案
第十题、已知M 是?ABC边BC中点，AM交?ABC外接圆⊙O于D, 过点D作DE//BC交⊙O于E,在AD上取点F,使得FC?AC. 求证?AFC??EFC
例11、已知（文武光华数学工作室 南京 潘成华） ⊙O、⊙I外切于
S,⊙O弦AB切⊙I于T,点P是AI延长线上一点,
求证BP?AB充要条件是TS?SP.（2014 6 8 8：49于镇江大港中学）
证明（文武光华数学工作室 南京 潘成华）过S作两圆公切线交AT于Q, 线段AS、QI交于R,TS?SP等价于IR//PS,等价于AI?AR ,因为
APAS?QTR??QSA??ABS,得到TR//BS,因此，AI?AR等价于AI?AT,等价于
APASAPAPTIASOPBPBORQTIASIT//BP,即BP?AB
例12、刚才看了一下2014年第5期《中等数学》数学奥林匹克问题（高）383，不难，我把解答写一下
已知H 是锐角?ABC的垂心，以AH、AB为直径的圆交?BHC外接圆于D、E,直线AD交BC于G,直线AE、HC交于F, 求证GF//BH
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