数学广角——鸽巢问题
【教学目标】
1.知识与技能：了解“鸽巢问题”的特点，理解“鸽巢原理”的含义。使学生学会用此原理解决简单的实际问题。
2.过程与方法：经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、实验、推理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。
3.情感、态度和价值观：通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，激发学生的学习兴趣，使学生感受数学的魅力。
【课时安排】
3课时
【第一课时】 【教学重难点】
1.引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。 2.找出“鸽巢问题”解决的窍门进行反复推理。
【教学准备】
课件
【教学过程】
一、探究新知：
1.教学例1．(课件出示例题1情境图）
思考问题：把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有1个笔筒里至少有2支铅笔。为什么呢？“总有”和“至少”是什么意思？
学生通过操作发现规律→理解关键词的含义→探究证明→认识“鸽巢问题”的学习过程来解决问题。
操作发现规律：通过吧4支铅笔放进3个笔筒中，可以发现：不管怎么放，总有1鸽笔筒里至少有2支铅笔。
理解关键词的含义：“总有”和“至少”是指把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，一定有1个笔筒里的铅笔数大于或等于2支。
探究证明。
1
方法一：用“枚举法”证明。 方法二：用“分解法”证明。 把4分解成3个数。
由图可知，把4分解成3个数，与枚举法相似，也有4中情况，每一种情况分得的3个数中，至少有1个数是不小于2的数。
方法三：用“假设法”证明。
通过以上几种方法证明都可以发现：把4只铅笔放进3个笔筒中，无论怎么放，总有1个笔筒里至少放进2只铅笔。
认识“鸽巢问题”
（1）像上面的问题就是“鸽巢问题”，也叫“抽屉问题”。在这里，4支铅笔是要分放的物体，就相当于4只“鸽子”，“3个笔筒”就相当于3个“鸽巢”或“抽屉”，把此问题用“鸽巢问题”的语言描述就是把4只鸽子放进3个笼子，总有1个笼子里至少有2只鸽子。
这里的“总有”指的是“一定有”或“肯定有”的意思；而“至少”指的是最少，即在所有方法中，放的鸽子最多的那个“笼子”里鸽子“最少”的个数。
小结：只要放的铅笔数比笔筒的数量多，就总有1个笔筒里至少放进2支铅笔。 （2）如果放的铅笔数比笔筒的数量多2，那么总有1个笔筒至少放2支铅笔；如果放的铅笔比笔筒的数量多3，那么总有1个笔筒里至少放2只铅笔……
小结：只要放的铅笔数比笔筒的数量多，就总有1个笔筒里至少放2支铅笔。 归纳总结：
鸽巢原理（一）：如果把m个物体任意放进n个抽屉里（m>n，且n是非零自然数），那么一定有一个抽屉里至少放进了2个物体。
2.教学例2(课件出示例题2情境图） 思考问题：
（1）把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有1个抽屉里至少有3本书。为什么呢？ （2）如果有8本书会怎样呢？10本书呢？
学生通过“探究证明→得出结论”的学习过程来解决问题（一）。 探究证明。
方法一：用数的分解法证明。
把7分解成3个数的和。把7本书放进3个抽屉里，共有如下8种情况：
由图可知，每种情况分得的3个数中，至少有1个数不小于3，也就是每种分法中最多那个数最小是3，即总有1个抽屉至少放进3本书。
2
方法二：用假设法证明。
把7本书平均分成3份，7÷3=2（本）.....1（本），若每个抽屉放2本，则还剩1本。如果把剩下的这1本书放进任意1个抽屉中，那么这个抽屉里就有3本书。
得出结论。
通过以上两种方法都可以发现：7本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进3本书。
学生通过“假设分析法→归纳总结”的学习过程来解决问题（二）。 用假设法分析。
（1）8÷3=2（本）.....2（本），剩下2本，分别放进其中2个抽屉中，使其中2个抽屉都变成3本，因此把8本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进3本书。
（2）10÷3=3（本）.....1（本），把10本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进4本书。
归纳总结：
综合上面两种情况，要把a本书放进3个抽屉里，如果a÷3=b（本）.....1（本）或a÷3=b（本）.....2（本），那么一定有1个抽屉里至少放进（b+1）本书。
鸽巢原理（二）：古国把多与kn个的物体任意分别放进n个空抽屉（k是正整数，n是非0的自然数），那么一定有一个抽屉中至少放进了（k+1)个物体。
【板书设计】
鸽巢问题 思考方法：
枚举法、分解法、假设法
鸽巢原理（一）：如果把m个物体任意放进n个抽屉里（m>n，且n是非零自然数） 鸽巢原理（二）：古国把多与kn个的物体任意分别放进n个空抽屉（k是正整数，n是非0的自然数），那么一定有一个抽屉中至少放进了（k+1)个物体。
【第二课时】 【教学重难点】
1.引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。
2.找出“鸽巢问题”中的“鸽巢”是什么，“鸽巢”有几个，在利用“鸽巢原理”进行反向推理。
【教学准备】
3
课件
【教学过程】
一、探究新知
教学例3（课件出示例3的情境图）。
出示思考的问题：盒子里有同样大小的红球和篮球各4个，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出几个球？
学生通过“猜测验证→分析推理”的学习过程解决问题。 1.猜测验证。
? 猜测1：只摸2个球 只要举出一个反例就可以推翻这种猜测。 就能保证这2个球 验 证 如：这两个球正好是一红一蓝时就不能 同色。 满足条件。 ? 猜测2：摸出5个球， 把红、蓝两种颜色看作两个“鸽巢”，因为 肯定有2个球是同 验 证 5÷2=2．。。1，所以摸出5个球时，至少有3 色的。 个球是同色的，因此摸出5个球是没必要的。 ? 猜测1：摸出3个球， 把红、蓝两种颜色看作两个“鸽巢”，因为 至少有2个球是同 验 证 3÷2=1．。。1，所以摸出3个球时，至少有 色的。 2个是同色的。
综上所述，摸出3个球，至少有2个球是同色的。 2.分析推理。
根据“鸽巢原理（一）”推断：要保证有一个抽屉至少有2个球，分的无图个数失少要比抽屉数多1．现在把“颜色种数”看作“抽屉数”，结论就变成了“要保证摸出2个同色的球，摸出的球的个数至少要比颜色种数多1”。因此，要从两种颜色的球中保证摸出2个同色的，至少要摸出3个球。
趁热打铁：箱子里有足够多的5种不同颜色的球，最少取出多少个球才能保证其中一定有2个颜色一样的球？
学生独立思考解决问题，集体交流。 3.归纳总结：
运用“鸽巢原理”解决问题的思路和方法： 4.分析题意；
把实际问题转化成“鸽巢问题”，弄清“鸽巢”和分放的“鸽子”。 根据“鸽巢原理”推理并解决问题。
4
二、巩固练习
一个布袋里有红色、黑色、蓝色的袜子各8只。每次从布袋里最少要拿出多少只可以保证其中有2双颜色不同的袜子？（袜子不分左右）
【板书设计】
鸽巢问题
每个抽屉里放入的物品数 ↓
1 × 2 ＋ 1 ＝3（个） ↑ 抽屉数
【第三课时】 【教学重难点】
1.应用“鸽巢原理”解决实际问题。引导学会把具体问题转化成“鸽巢问题”。 2.理解“鸽巢原理”，找出“鸽巢问题”解决的窍门进行反复推理。
【教学准备】
课件
【教学过程】
一、基础练习题
1.填一填：
（1）水东小学六年级有30名学生是二月份（按28天计算）出生的，六年级至少有（ ）名学生的生日是在二月份的同一天。
（2）有3个同学一起练习投篮，如果他们一共投进16个球，那么一定有1个同学至少投进了（ ）个球。
（3）把6只鸡放进5个鸡笼，至少有（ ）只鸡要放进同1个鸡笼里。
（4）某班有个小书架，40个同学可以任意借阅，小书架上至少要有（ ）本书，才可以保证至少有1个同学能借到2本或2本以上的书。
学生独立思考解答，集体交流纠正。 解决问题。 2.（易错题）
5
（1）六班有50名同学，至少有多少名同学是同一个月出生的？
（2）书籍里混装着3本故事书和5本科技书，要保证一次一定能拿出2本科技书。一次至少要拿出多少本书？
（3）把16支铅笔最多放入几个铅笔盒里，可以保证至少有1个铅笔盒里的铅笔不少于6支？
二、拓展延伸题
1.把27个球最多放在几个盒子里，可以保证至少有1个盒子里有7个球？
教师引导学生分析：盒子数看作抽屉数，如果要使其中1个抽屉里至少有7个球，那么球的个数至少要比抽屉数的（7-1）倍多1个，而（27-1）÷（7-1）=4.....2，因此最多放进4个盒子里，可以保证至少有1个盒子里有7个球。
教师引导学生规范解答：
2.一个袋子里装有红、黄、蓝袜子各5只，一次至少取出多少只可以保证每种颜色至少有1只？
教师引导学生分析：假设先取5只，全是红的，不符合题意，要继续去；假设再取5只，5只有全是黄的，这时再取一只一定是蓝色的，这样取5×2+1=11（只）可以保证每种颜色至少有1只。
教师引导学生规范解答：
3.六（2）班的同学参加一次数学考试，满分为100分，全班最低分是75．已知每人得分都是整数，并且班上至少有3人的得分相同。六（2）班至少有多少名同学？
教师引导学生分析：因为最高分是100分，最低分是75分，所以学生可能得到的不同分数有100-745+1=26（种）。
教师引导学生规范解答：
6
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