P0?x1x2x3x4x5x6x16,可设为(1,2,3,4,5,6,,16), 2,4,6,8,,16),
,16), x7位于P2中的第6
P1?x1x3x5x7x15x2x4x6x16,即为(1,3,5,7,9,P2?x1x5x9x13x3x7x11x15x2x6个位置,；
x16,即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,（2）方法同（1）,归纳推理知x173位于P4中的第3?2n?4?11个位置.
【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．
一次购物量 顾客数（人） 结算时间（分钟/人） 1至4件 5至8件 30 1.5 9至12件 13至16件 17件及以上 25 2 x 1 y 2.5 10 3 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％．
（Ⅰ）确定x,y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望； （Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求
该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．（注：将频率视为概率）
【解析】（1）由已知,得25?y?10?55,x?y?35,所以x?15,y?20.
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得
153303?,p(X?1.5?)?p,X(?1002010010201101)?p,X(?3?)? . p(X?2.5?100510010X的分布为
p(X?1)? X P X的数学期望为
1 1.5 2 2.5 3 2512?)?,
100433111 20104510 E(X)?1?331?1.?5??2?201041?2.5??51. 1.93?10为该顾客前面
2,)1（Ⅱ）记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，Xi(i?第i位顾客的结算时间，则
1X?P(1X?且12X?1.5?)P1X(?且1.25X. ? P(A)?P(X1?且2?1)由于顾客的结算相互独立，且X1,X2的分布列都与X的分布列相同，所以
1)?(P2X?1)?P1(X?1?)P2(X? P(A)?P(X1?1) ?1.?5)P1X(?1.?5P)X( ?21)3333339. ??????202020101020809. 80故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为
【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查分布列及数学期望的计算，考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％知
25?y?10?100?55%,x?y?35,从而解得x,y，计算每一个变量对应的概率，从而求
得分布列和期望；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.
18．（本小题满分12分）
如图5，在四棱锥P?ABCD中，PA?平面ABCD，
AB?4，
BC?3，
AD?5，
?DAB??ABC?90?，E是CD的中点．
（Ⅰ）证明：CD?平面PAE；
（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面 ABCD所成的角相等，求四棱锥P?ABCD的体积．
【解析】
解法1（Ⅰ如图（1）），连接AC，由AB=4，BC?3，?ABC?90,得AC?5.
又AD?5,Ｅ是ＣＤ的中点，所以CD?AE.
PA?平面ABCD,CD?平面ABCD,所以PA?CD.
而PA,AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE. （Ⅱ）过点Ｂ作BG??CD,分别与AE,AD相交于F,G,连接PF.
由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE.于是?BPF为直线ＰＢ与平面PAE 所成的角，且BG?AE.
由PA?平面ABCD知，?PBA为直线PB与平面ABCD所成的角.
AB?4,AG?2,BG?AF,由题意，知?PBA??BPF,
因为sin?PBA?PABF,sin?BPF?,所以PA?BF. PBPB由?DAB??ABC?90知，AD//BC,又BG//CD,所以四边形BCDG是平行四边形，故GD?BC?3.于是AG?2.
在RtΔBAG中，AB?4,AG?2,BG?AF,所以
AB21685 BG?AB?AG?25,BF???.
BG25522于是PA?BF?85. 5又梯形ABCD的面积为S?1?(5?3)?4?16,所以四棱锥P?ABCD的体积为 2 V?
11851285?S?PA??16??. 33515
解法2：如图（2），以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.设PA?h,则相关的各点坐标为：
A(4,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h).
（Ⅰ）易知CD?(?4,2,0),AE?(2,4,0),AP?(0,0,h).因为
CD?AE??8?8?0?0,CD?AP?0,所以CD?AE,CD?AP.而AP,AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD?平面PAE.
(Ⅱ)由题设和（Ⅰ）知，CD,AP分别是平面PAE，平面ABCD的法向量，而PB与
平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，所以
cos?CD,PB??cos?PA,PB?,即CD?PBCD?PB?PA?PBPA?PB.
由（Ⅰ）知，CD?(?4,2,0),AP?(0,0,?h),由PB?(4,0,?h),故
?16?0?025?16?h2解得h??0?0?h2h?16?h2.
85. 5又梯形ABCD的面积为S?1?(5?3)?4?16，所以四棱锥P?ABCD的体积为 21285. 15 V?1185?S?PA??16??335【点评】本题考查空间线面垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明PA?CD即可，第二问算出梯形的面积和棱锥的高，由V?积，或者建立空间直角坐标系，求得高几体积.
19．（本小题满分12分）
已知数列{an}的各项均为正数，记A(n)?a1?a2?1?S?PA算得体3?an，
B(n)?a2?a3??an?1，C(n)?a3?a4??an?2，n?1,2,.
*（Ⅰ）若a1?1,a2?5，且对任意n?N，三个数A(n),B(n),C(n)组成等差数列，求
数列{an}的通项公式.
（Ⅱ）证明：数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n?N，三
个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列.
*
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