【解析】
解（１）对任意n?N,三个数A(n),B(n),C(n)是等差数列，所以 B(n)?A(n)?C(n)?B(n), 即an?1?a1?an?2,亦即an?2?an?1?a2?a1?4.
故数列?an?是首项为１，公差为４的等差数列.于是an?1?(n?1)?4?4n?3. （Ⅱ）（１）必要性：若数列?an?是公比为ｑ的等比数列，则对任意n?N，有
??an?1?anq.由an?0知，A(n),B(n),C(n)均大于０，于是
B(n)a2?a3?...?an?1q(a1?a2?...?an)???q, A(n)a1?a2?...?ana1?a2?...?anC(n)a3?a4?...?an?2q(a2?a3?...?an?1)???q, B(n)a2?a3?...?an?1a2?a3?...?an?1
即
B(n)C(n)＝＝q，所以三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列. A(n)B(n)?（２）充分性：若对于任意n?N，三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列， 则
? B(n)qA(n),?C(n)，q Bn于是C(n)?B(n)?q?B(n)?A(n)?,得an?2?a2?q(an?1?a1),即 an?2?qan?1?a?2a.
由n?1有B(1)?qA(1),即a2?qa1，从而an?2?qan?1?0. 因为an?0，所以
an?2a2??q，故数列?an?是首项为a1，公比为q的等比数列， an?1a1综上所述，数列?an?是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N﹡，三个数
A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列.
【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证.
20．（本小题满分13分）
某企业接到生产3000台某产品的A，B，C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）．已知每个工人每天可生产A部件6件，或B部件3件，或C部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为k（k为正整数）．
（Ⅰ）设生产A部件的人数为x，分别写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间； （Ⅱ）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最
短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．
【解析】 解：（Ⅰ）设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为
T1(x),T2(x),T3(x),由题设有
T3000100021(x)?2?6x?x,T2(x)?0kx,0T015003(x?)20?0?(1k) x,期中x,kx,200?(1?k)x均为1到200之间的正整数.
（Ⅱ）完成订单任务的时间为f(x)?max?T1(x),T2(x),T3(x)?,其定义域为
???x0?x?2001?k,x?N????.易知，T1(x),T2(x)为减函数，T3(x)为增函数.注意到
T(x)?22kT1(x),于是
（1）当k?2时，T1(x)?T2(x), 此时 f(x)?max?T1(x),T?10003(x)??max??x,1500?200?3x??，
由函数T10001(x),T3(x)的单调性知，当
x?1500200?3x时f(x)取得最小值，解得 x?4009.由于 44?4009?45,而f(44)?T2503001(44)?11,f(45)?T3(45)?13,f(44)?f(45).
故当x?44时完成订单任务的时间最短，且最短时间为f(44)?25011.
（2）当k?2时，T1(x)?T2(x), 由于k为正整数，故k?3，T(x)?37550?x,?(x)?max?T1(x),T(x)?易知T(x)为增函数，则 此时
f(x)?max?T1(x),T3(x)? ?max?T1(x),T(x)?
?1000375???(x)?max?,?.
x50?x??1000375400时?(x)取得最小值，解得x?.由于?x50?x1140025025037525036??37,而?(36)?T1(36)??,?(37)?T(37)??,
119111311250此时完成订单任务的最短时间大于.
11由函数T1(x),T(x)的单调性知，当
（3）当k?2时，T1(x)?T2(x), 由于k为正整数，故k?1，此时
?2000750?f(x)?max?T2(x),T3(x)??max?,?.由函数T2(x),T3(x)的单调性知，
?x100?x?2000750800?时f(x)取得最小值，解得x?.类似（1）的讨论.此时 x100?x11250250完成订单任务的最短时间为，大于.
911综上所述，当k?2时完成订单任务的时间最短，此时生产Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件的人数
当
分别为44,88,68.
【点评】本题为函数的应用题，考查分段函数、函数单调性、最值等，考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型；第二问利用单调性与最值来解决，体现分类讨论思想.
21．（本小题满分13分）
22在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2:(x?5)?y?9外，且对C1上任意一
点M，M到直线x??2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值. （Ⅰ）求曲线C1的方程；
?)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相（Ⅱ）设P(x0,y0)(y0?3交于点A,B和C,D.证明：当P在直线x??4上运动时，四点A,B,C,D的纵坐标之积为定值.
【解析】（Ⅰ）解法1 ：设M的坐标为(x,y)，由已知得
x?2?(x?5)2?y2?3，
易知圆C2上的点位于直线x??2的右侧.于是x?2?0，所以
(x?5)2?y2?x?5.
化简得曲线C1的方程为y?20x.
解法2 ：由题设知，曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x??5的距离，因此，曲线C1是以(5,0)为焦点，直线x??5为准线的抛物线，故其方程为y?20x.
（Ⅱ）当点P在直线x??4上运动时，P的坐标为(?4,y0)，又y0??3，则过P且与圆
22C2相切得直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为
y?y0?k(x?4),即kx-y+y0+4k=0.于是
5k?y0?4kk?1整理得
2?3.
272k2?18y0k?y0?9?0. ①
设过P所作的两条切线PA,PC的斜率分别为k1,k2，则k1,k2是方程①的两个实根，故
k1?k2?? 由?18y0y??0. ② 724?k1x?y?y0?4k1?0,2得k1y?20y?20(y0?4k1)?0. ③ 2y?20x,?设四点A,B,C,D的纵坐标分别为y1,y2,y3,y4，则是方程③的两个实根，所以
y1?y2?同理可得
20(y0?4k1). ④
k1y3?y4?于是由②，④，⑤三式得
20(y0?4k2). ⑤
k2
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