三、符号说明及名称解释
符号 意义 太阳高度角 太阳赤纬角 时角 时差 按天数顺序排列的积日 真太阳时 h DE t EQ
N TT ?N D ?? l
积日订正值 观测点的经度 观测点的纬度 直杆的长度 计算所得的直杆影子的长度 测量所得的直杆影子的长度 太阳直射点纬度 L1 L2 ??
四、问题分析
4.1 问题一分析
题一要求建立影子长度变化的数学模型，并分析影子长度关于各个参数的变化规律。在忽略折射率的情况下，影子长度和太阳高度角相关，需要计算出太阳时角和太阳赤纬角，然后求出太阳高度角。但由于大气层中存在水蒸气、二氧化碳和尘埃等物质，其密度与外太空的真空并不相同，因此当太阳光从外太空的真空传入大气层时，必将发生偏折，为了使结果更加精确，我们随后也会讨论折射率对太阳高度角的修正。利用三角函数得出棒影长率（棒影长度与棒长之比）。即可求出直杆的太阳影子随时间的长度变化。
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4.2 问题二分析
题二给出某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，可用勾股定理求出某时刻下直杆的实际测量影长。再在问题一建立的数学模型基础上，已知影子顶点坐标数据的测量日期，杆长和直杆所处位置的经纬度为未知变量，以多组理论计算出的影长和实际测量影长差的平方和为目标函数，建立优化模型。利用 MATLAB 的遗传算法工具箱寻找目标函数的最小值，即利用优化算法找到直杆所处地点的最优解。
4.3 问题三分析
题三要求在已知某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据的情况下，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。分析可知此问相较于题二多了一个未知参数太阳影子顶点坐标数据的测量日期，即在问题二的目标函数中增加一个未知变量来求某固定直杆所处位置与日期的最优解。
4.4 问题四分析
题四提供了一个一根直杆在太阳下的影子变化的视频，要求建立模型并且给出若干个可能的拍摄地点。最后提问如果拍摄日期未知，能否根据视频确定出拍摄地点与日期。我们首先考虑利用 MATLAB 编程把视频中每一帧的图片都读取出来，然后转化为灰度图片，利用 MATLAB 里的工具得到图中相应的坐标值，从而求得图中的影长与杆长。再利用图中杆长与估计得到的杆长之比得到影长。然后可以用题二建立的模型得出若干个可能的拍摄地点。如果拍摄日期未知，则可以用题三的模型得到若干个可能的拍摄时间和地点。拍摄时间与地点的确定则需要进一步分析。
五、模型建立与求解
5.1 问题一的模型建立与问题求解
5.1.1 模型的建立
问题一要求建立物体的太阳影子长度变化的数学模型。因对于物体本身，只有其自身的长度与太阳影子的长度有关，所以将物体看做直棒来建立模型。可采用较为科学精确的棒影日照图分析法，得到立棒的顶点在阳光下在地面上的影子全天的移动轨迹，即可知影子长度变化。依据下列两个公式：
sinh ? sin?·sinDE ? cos?·cosDE ·cost
L1 ? l ?coth
可得：
L1 ? l ? cot( arc sinh) ? l ? cot( arc sin(sin ? ? sin DE ? cos ? ? cos DE ?cos t))
4
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