椅子放平稳问题【范本模板】

椅子放平稳问题

所谓数学模型是指对于一个实际问题，为了特定目的，作出必要的简化假设，根据问题的内在规律，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构 . 建立及求解数学模型的过程就是数学建模。 下面例子是一个简单的数学建模问题.

问题：四条腿一样长的椅子一定能在不平的地面上放平稳吗？

1.模型假设 （文字转化为数学语言）

(1) 椅子四条腿一样长，椅子脚与地面的接触处视为一个点，四脚连线呈正方形;

(2） 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有台阶那样的情况)，即视地面为数学上的连续曲面；

(3) 地面起伏不是很大，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。

2.模型建立 (运用数学语言把条件和结论表现出来）

设椅脚的连线为正方形 ABCD，对角线 AC与 x轴重合，坐标原点 O在椅子中心,当椅子绕 O点旋转后，对角线 AC变为 A'C’，A'C'与 x轴的夹角为?.

由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记 A、C两脚与地面距离之和为 f(?),B、D两脚与地面距离之和为 g(?).显然f(?)?0、g(?)?0。 因此椅子和地面的距离之和可令h(?)?f(?)?g(?)。由假设（2)，f(x)、g(x)为连续函数，因此h(?)也是连续函数；由假设（3）,得：f(?)g(?)?0。则该问题归结为：

已知连续函数f(?)?0、g(?)?0且f(?)g(?)?0,至少存在一个?0，使得：

f(?0)?g(?0)?0

3.模型求解 （找出?0）

证明：不妨设f(0)?0,则g(0)?0 令???2o(即旋转90，对角线AC和BD互换)。则有f()?0,g()?0

??22定义：H(?)?f(?)?g(?)，所以

H(0)H()??[f(0)g()]?0

22根据连续函数解的存在性定理，得：存在?0?(0,使

得:H(?0)?f(?0)?g(?0)?0； 又 f(?0)g(?0)?0 所以f(?0)?g(?0)?0 即 当???0时,四点均在同一平面上.

???2)