?2?2【解析】当x>1时，0?a????,b?x2?1,c?log2x?0,所以c ?3?331 3. 当0 2A.(0,x22) B.(,1) C．(1，2) D．(2，2) 22【答案】B 【解析】由题意得，当0 11 )，即当0 又当x＝时，42＝2，即函数y＝4x的图象过点(,2).把点(,2)代入函数y＝logax，得a 222 ＝2. 2 2 1若函数y＝4x的图象在函数y＝logax图象的下方，则需 当a>1时，不符合题意，舍去．所以实数a的取值范围是(题型三 二次函数的图象与性质 1.若x??0,?时x?ax?2?0恒成立,求实数a的取值范围. 22,1). 2??1??2【答案】??,???. ?9?2??【解析】分离参数 a,可得a??x?2?1?,则当x??0,?时，令x?2?21?1?f?x???x?,f??x???1?2?0,所以f(x)在x??0,?时单调递增，所以 xx?2?2.设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是( ) A.(－∞，0] B．[2，＋∞) C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0,2] 【答案】D 【解析】二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，则a≠0，f′(x)＝2a(x－1)＜0，x∈[0,1]， 所以a＞0，即函数的图象开口向上，又因为对称轴是直线x＝1.所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2. a＞0也可利用f(x)＝ax2－2ax＋c=a(x2－2x)＋c=a(x－1)2－a＋c在对称轴左边递减得到. 3.已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)． (1)若f(x)的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值； (2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围． 【答案】（1）a＝2；（2）[2,3]． 【解析】(1)∵f(x)＝(x－a)2＋5－a2(a>1)， ∴f(x)在[1，a]上是减函数． 又定义域和值域均为[1，a]． ∴?199f(x)?f()??,a??.也可利用二次函数性质分类讨论. 222 ?f(1)?a?1?2a?5?a,解得a＝2. 即?22?f(a)?1?a?2a?5?1,(2)∵f(x)在区间(－∞，2]上是减函数， ∴a≥2. 又x＝a∈[1，a＋1]，且(a＋1)－a≤a－1， ∴f(x)max＝f(1)＝6－2a，f(x)min＝f(a)＝5－a2. ∵对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4， ∴f(x)max－f(x)min≤4，得－1≤a≤3. 又a≥2，∴2≤a≤3. 故实数a的取值范围是[2,3]． 题型四 函数图象的综合考查 x4lg|x|1.函数y?的图象大致是（ ） |x| 【答案】D 【解析】 从奇偶性可排除B，且易知当x>1时，原函数大于0，排除A，当x>0时，对函数 y?x3lgx求导单调性可排除C.故选D. 1 x－?的图象是( ) 2.函数f(x)＝ln??x? 【答案】B. 1x2?1【解析】自变量x满足x???0，当x＞0时，可得x＞1，当x＜0时，可得－1＜ xxx＜0，即函数f(x)的定义域是(－1,0)∪(1，＋∞)，据此排除选项A、D； 11单调递增，故函数f(x)＝ln(x?)在(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增，故选B. xxx23.函数y＝2x?e在[－2,2]的图象大致为( ) 函数y＝x? 【答案】D. 【解析】利用导数研究函数y＝2x?e在[0,2]上的图象，利用排除法求解． 2∵f(x)＝2x?e|，x∈[－2,2]是偶函数， x2x又f(2)＝8－e2∈(0,1)，故排除A，B. 设g(x)＝2x?e，则g′(x)＝4x－ex. 又g′(0)<0，g′(2)>0， ∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点， ∴f(x)＝2x?e在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D. 题型五 复合函数的简单性质 1.已知函数f?x??log2【答案】1. 2x2xa?x为奇函数,则实数a的值为 ． 1?xa?xa+xa?x1?x2=?log2=,,a?1,因1?x1?x1?xa?xlog2【解析】由奇函数得：f?x???f??x?，为a??1,所以a?1. a 2.若函数f(x)＝loga(x2－ax＋5)(a＞0，且a≠1)满足对任意的x1，x2，当x1＜x2≤时，f(x2)－f(x1) 2＜0，则实数a的取值范围为________． 【答案】(1,25). aa 【解析】 当x1＜x2≤时，f(x2)－f(x1)＜0，即函数在区间(－∞，]上为减函数，设g(x)＝x2 22 ?a?1?－ax＋5，则?a，解得1＜a＜25. g()?0??23.函数y?4x?2x?1?1的值域为( ) A．(0，＋∞) C．[1，＋∞) 【答案】B 【解析】令2x＝t，则函数y?4x?2x?1?1可化为y＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2(t>0)． ∵函数y＝(t＋1)2在(0，＋∞)上递增，∴y>1. ∴所求值域为(1，＋∞)．故选B. 题型六 函数性质综合 B．(1，＋∞) D．(－∞，＋∞) ?1??1?1.设方程log2x????0与log1x????0的根分别为x1，x2，则( ) ?2??4?4xxA．0＜x1x2＜1 C．1＜x1x2＜2 【答案】A. B．x1x2＝1 D．x1x2≥2 ?1??1?【解析】方程log2x????0与log1x????0的根分别为x1，x2，所以 ?2??4?4121?1??1??1?log2x1???，log1x2???，可得x2＝2，令f(x)＝log2x???，则f(2)f(1)＜0， ?2??2??4?4xxxxx1 所以1＜x1＜2，所以＜x1x2＜1，即0＜x1x2＜1.故选A. 22.若函数f(x)??【答案】?1,2? 【解析】当x≤2时，f(x)＝－x＋6，f(x)在(－∞，2]上为减函数，∴f(x)∈[4，＋∞)．当x＞2时，若a∈(0,1)，则f(x)＝3＋logax在(2，＋∞)上为减函数，f(x)∈(－∞，3＋loga2)，显然不满足题意，∴a＞1，此时f(x)在(2，＋∞)上为增函数，f(x)∈(3＋loga2，＋∞)，由题意可知(3＋loga2，＋∞)?[4，＋∞)，则3＋loga2≥4，即loga2≥1，∴1＜a≤2. ??x?6,x?2,＋∞)，求实数a的取值范围． (a?0且a?1)的值域是[4， ?3?logax,x?2?2x?b3.已知定义域为R的函数f(x)?x?1是奇函数． 2?a(1)求a，b的值； (2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围． 【答案】（1）a＝2，b＝1;（2）???,?? 3?.?【解析】(1)因为f(x)是R上的奇函数， －1＋b 所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1. 2＋a 1－＋12－2＋1?2?1从而有f(x)?x?1.又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2. 4＋a1＋a2?ax?1?－2x＋111 (2)由(1)知f(x)＝x＋1＝－＋x， 22＋12＋2 由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)． 因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.即对一切t∈R有3t2－2t－k>0， 1 从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－. 3 五、课堂小结 1.指数幂运算的4个原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答 2.指数函数的性质及应用问题3种解题策略 (1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法． (2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论． (3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论． 3.利用对数函数的性质研究对数型函数性质，要注意以下四点：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是如果需将函数解析式变形，一定确保其等价性；四是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的． 4.指数、对数、幂函数值的大小比较时： (1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较； (2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较； (3)底数不同、指数也不同，或底数不同，真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小. 5.解决二次函数图象与性质问题注意： (1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约．常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论； (2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上二次函数最值问题．先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍
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