“《数学周报》 杯”2007 年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题（共 5 小题，每小题 6 分，满分 30 分. 以下每道小题均给出了代号为 A ，B，C，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的 . 请将正确选项的代
号填入题后的括号里 . 不填、多填或错填得零分）
x y 12,
1．方程组
x y 6
的解的个数为（ ）．
（A）1
答：（A ）．
（ B） 2（C） 3
（D）4
x y 12, 解：若 x ≥0，则 于是 y y
x y 6,
6 ，显然不可能．
若 x 0 ，则
x y 1 2 , x
y
6,
9 ，进而求得 x
于是 y y 18 ，解得 y
3 ．
所以，原方程组的解为
x 3,
只有 1 个解．
y 9,
故选（ A）．
2．口袋中有 20 个球，其中白球 9 个，红球 5 个，黑球 6 个，那么上述取法的种数是（
（A） 14
个．现从中任取
10 个球，使得白球不少于 2 个但不多于 8 个，红球不少于 2 个，黑球不多于 3
）．
（B） 16
（C） 18
（D） 20
答：（B）．
解：用枚举法：
红球个数
白球个数
2，3，4，5 5
3，4，5，6 4
4，5，6，7 3
2 5， 6， 7， 8
所以，共 16 种．
黑球个数
3，2，1，0 3，2，1，0 3，2，1，0
3，2，1，0 4
种 数 4
4 4
故选（ B）．
为锐角三角形，⊙ O 经过点 ， ，且与边 ， 分别相 ．已知△
3 ABC B AB AC C
交于点 D，E． 若⊙ O 的半径与△ ADE 的外接圆的半径相等，则⊙ △ ABC 的（
）．
O 一定经过
（A）内心 （ B）外心 （ C）重心 （D）垂心
答：（解： 如图，连接 B）．
，因为△ ABC 为锐角三角形，所以
BE
BAC ， ABE 均为锐角．又因为⊙ O 的半径与△ ADE 的外
接 圆 的 半 径 相 等 ， 且 DE 为 两 圆 的 公 共 弦 ， 所 以 BAC
ABE ．于是， BEC
BAC
ABE 2 BAC ．
若△ ABC 的外心为 O ，则 BOC 2BAC ，所以，⊙
1
1
O
一定过△ ABC 的外心．
（第 3 题答案图） 故选（ B）．
4．已知三个关于 x 的一元二次方程
ax 2 bx c 0 ， bx2
cx a 0， cx2
ax b 0
恰有一个公共实数根，则 a2 b2
c2 的值为（
）．
bc ca ab
（A） 0
（B） 1
（ C）2
（ D） 3
答：（D）．
解：设 x0 是它们的一个公共实数根，则
ax 2 bx c
0 ， bx 2 cx
a 0 ， cx 2 ax b 0 ．
0
0
0
0
0
0
把上面三个式子相加，并整理得
(a b c)( x02 x0 1) 0 ．
因为 x02 x0 1 ( x0 1)2 3 0 ，所以 a b c 0 ． 于是
2
4
a2 b2 c2 a3 b3
c3 a3 b3 (a b)3
bc ca ab
abc
abc
3ab(a
b)
3 ．
abc
故选（ D）．
5．方程 x3 6x2 5x y3 y 2 的整数解（ x，y）的个数是（ ）． （A ）0 （ B）1 （ C）3 （D）无穷多 答：（A ）．
解：原方程可化为
x( x 1)( x 2)
（3 x2
x） y( y 1)( y 1) 2 ，
因为三个连续整数的乘积是
3 的倍数，所以上式左边是 3 的倍数，而右边除以 3
余 2，这是不可能的．所以，原方程无整数
解．故选 (A).
二、填空题（共 5 小题，每小题 6 分，满分 30 分）
6．如图，在直角三角形 ABC 中， ACB 90 ，CA＝4．点 P 是半圆弧 AC
的中点，连接 BP，线段 BP 把图形 APCB 分成两部分，则这两部分面积之差的
绝对值是
．
答： 4．
解：如图，设 AC 与 BP 相交于点 D，点 D 关于圆心 O 的对称点记为点 E，线段 BP 把图形 APCB 分成两部分，这两部分面积之差的绝对值是△ BEP 的面积，即△ BOP 面积的两倍．而 PO CO 2 2 2 ． 2 2
因此，这两部分面积之差的绝对值是 4．
BPO
S11
（第 6 题答案图）
7．如图 , 点 A，C 都在函数 y
3 3
x
( x 0) 的图象上，点 B， D 都在 x 轴上，
且使得△ OAB，△ BCD 都是等边三角形，则点 D 的坐标
为
．
答：（ 2 6 ，0）．
解：如图，分别过点 A，C 作 x 轴的垂线，垂足分别
为 E，F．设 OE＝ a，BF＝b， 则 AE＝ 3 a ，CF＝ 3 b ， 所以，点 A，C 的坐标为
（第 7 题答案图）
（ a ， 3 a ），（2 a ＋b， 3 b ）， 所以
3 a2
3 3,
3 3 ,
3 b(2 a b)
解得
a b
3 , 6 3 ,
因此，点 D 的坐标为（ 2 6 ， 0）．
8．已知点 A，B 的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数 y x2 的图象与线段 AB 恰有一个交点，则 a 的取值范围是
答： 1≤ a
a 3 x 3
1
．
，或者 a 3 2 3 ．
2
解：分两种情况：
（Ⅰ）因为二次函数 y x2 a 3 x 3 的图象与线段 AB 只有一个交点， 且
点 A，B 的坐标分别为（ 1，0），（ 2， 0），所以
12
(a 3) 1 3 22
(a 3) 2 3 0 ，
得 1 a
1 ． 2
由12 (a 3) 1 3 0 ，得 a 由 2
1 ，此时 x1 1， x2 3，符合题意； 2 ， x2
2
(a 3)
2 3 0 ，得 a
1 ，此时 x1
3 ，不符合题意．
2
2
（Ⅱ）令 x2
a 3 x ，由判别式 3 0
2
0 ，得 a 3 2 3 ．
当 a 3 2 3 时， 1
x
x
，不合题意；当 a 3 2 3 时， 1 2
3 x x
， 3
符合题意．
综上所述， a 的取值范围是 1≤ a
1
，或者 a
3 2 3 ．
9．如图， A 答： 6．
B
C
D
2
E F
G n 90 ，则 n＝
．
解：如图，设 AF 与 BG 相交于点 Q，则
AQG
A D G ，
于是
A
B B
B
C C
C
E E
F F
D E
AQG BQF
F
540 6 90 ． 所以， n＝6．
10．已知对于任意正整数 n，都有
a1 a2
G
（第 9 题答案图）
an n3 ，
则
1
1
1 a100 1
．
a2 1 a3 1
33
答：
．
解：当 n ≥2 ，有
a
1 a 2
a a n n 1
n3 ，
a1 a2
a2
n 1 (n 1)3 ，
两式相减，得 所以
an 3 n
3 n 1，
1 an
1 1 ( 1
1 3n(n 1) 3 n 1 n
1
), n 2,3,4,
因此
1
1
1
1 1 1 1
(1 ) ( 3 3 2 2
a2 1 a3 1
a1 3 )
1 0 0 1 (
1 1
1
3 99 100
)
1 (1 1 ) 33 ． 3 100 100
三、解答 （共 4 ，每小 15 分， 分 60 分）
11（A ）．已知点 M，N 的坐 分 （ 0，1），（0，－1），点 P 是抛物 y
1 x2 4
上的一个 点．
（1）判断以点 P 心， PM 半径的 与直 y （2） 直 PM 与抛物 y
1的位置关系；
1
x2 的另一个交点 点 Q， 接 NP，NQ，求
4
PNM
QNM ． ：
1
2
解：（1） 点 P 的坐 ( x0 ,
PM＝ x02
x0 ) ，
( x0 1) 4
122 ( x04
2
12
1)
2
1又因 点 P 到直 y
1的距离
1
x02 1 ; 4
1 2
4 x0 ( 1) 4 x0 1 ，
所以，以点 P 心，PM 半径的 与直 y
1相切．
???? 5 分
（ 2）如 ，分 点
P，Q 作直 y 1 的垂 ，垂
足分 ＝ QR．
H，R．由（ 1）知， PH＝PM，同理可得， QM
（第 11A 题答案图）
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