09年高考数学卷（陕西 理）含详解

21．（本小题满分14分）

y2x2已知双曲线C的方程为2?2?1(a?0,b?0),

ab离心率e?525,顶点到渐近线的距离为. 25（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）如图，P是双曲线C上一点，A,B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一，

????????1二象限.若AP??PB,??[,2],求△AOB面积的取值范围.

3解答一（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点(O,a)到渐近线ax?by?0的距离为25 ，5∴aba2?b2?25ab25,即?, 5c5?ab25,??5?c?5?c,由??2?a?c2?a2?b2???

?a?2,??b?1,得??c?5,

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m y2?x2?1. ∴双曲线C的方程为4（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C的两条渐近线方程为y??2x.

设A(m,2m),B(?n,2n),m?0,n?0.

????????m??n2(m??n),), 由AP??PB得P点的坐标为(1??1??y2(1??n)22?x?1,化简得mn?. 将P点坐标代入44?设∠AOB?2?,?tan(又

?|OA|?5m4|OB|?5n??114??)?2,?tan??,sin??,sin2??. 2225?S?AOB 111?|OA|?|OB|?sin2??2mn?(??)?1.22?111S(?)?(??)?1,??[,2],记 2?389,S(2)?, 3418当??1时，△AOB的面积取得最小值2，当??时，△AOB的面积取得最大值∴△AOB

33.8面积的取值范围是[2,].

3由S'(?)?0得??1,又S(1)=2,S()?解答二（Ⅰ）同解答一

（Ⅱ）设直线AB的方程为y?kx?m,由题意知|k|?2,m?0.

13y?kx?m 由

y?2x{

2m,), 得A点的坐标为(2m?k2?k 由

?kx?m?m2m,). {y 得B点的坐标为(y??2x2?k2?k????????m1?2m1?(?),(?)), 由AP??PB得P点的坐标为(1??2?k2?k1??2?k2?ky24m2(1??)22?x?1得?. 将P点坐标代入44?k2?设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为（0，m）.

S?AOB?S?AOQ?S?BOQ?111|OQ|?|XA|?|OQ|?|x8|?m?(xA?xB) 222w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1mm14m211?)???(??)?1. =m(222?k2?k24?k2?以下同解答一.

22．（本小题满分12分）

已知数列?xn}满足， x1＝11xn＋1＝,n?N*. 2’1?xn???猜想数列{xn}的单调性，并证明你的结论；

(Ⅱ)证明：|xn?1-xn|≤()1265n?1。

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 22题 证（1）由x1?112513 及xn+1?得x2??x4?，x4?21?xn3821由x2?x4?x6猜想：数列?x2n?是递减数列 下面用数学归纳法证明：

（1）当n=1时，已证命题成立 （2）假设当n=k时命题成立，即x2k?x2k?2 易知x2k?0，那么x2k?2?x2k?4?x2k?3?x2k?111 ??1?x2k?11?x2k?3(1?x2k?1)(1?x2k?3) =

x2k?x2k?2?0

(1?x2k)(1?x2k?1)(1?x2k?2)(1?x2k?3)即x2(k?1)?x2(k?1)?2

也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立 （2）当n=1时，xn?1?xn?x2?x1?1，结论成立 6当n?2时，易知0?xn?1?1,?1?xn?1?2,xn?11?

1?xn?12?(1?xn)(1?xn?1)?(1?15)(1?xn?1)?2?xn?1?

1?xn?12xn?xn?111 ?xn?1?xn???1?xn1?xn?1(1?xn)(1?xn?1)2222n-1xn?xn?1?（）xn?1?xn?2???（）x?2x555

12n-1?（）65?

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