11
∴m·n＝|m||n|cos60°＝1×1×＝.
22|a|＝|2m＋n|＝?2m＋n?＝4×1＋1＋4m·n ＝
1
4×1＋1＋4×＝7，
2
22
|b|＝|2n－3m|＝?2n－3m? ＝4×1＋9×1－12m·n ＝
1
4×1＋9×1－12×＝7，
2
a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2
17＝－6×1＋2×1＝－. 22设a与b的夹角为θ，
a·b1则cosθ＝＝＝－.
|a||b|27×7
2π2π
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝，故a与b的夹角为.
33
反思与感悟 求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π]．
跟踪训练3 已知|a|＝2|b|＝2，且a·b＝－1. (1)求a与b的夹角θ； (2)求(a－2b)·b；
(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？ 解 (1)∵|a|＝2|b|＝2， ∴|a|＝2，|b|＝1， ∴a·b＝|a||b|cosθ＝－1，
12π
∴cosθ＝－，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
23(2)(a－2b)·b＝a·b－2b＝－1－2＝－3. (3)∵λa＋b与a－3b互相垂直，
∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa－3λa·b＋b·a－3b 4
＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，∴λ＝.
7
2
2
2
7－2
1．已知|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，则向量b在a方向上的投影为________． 答案 －2
解析 向量b在a方向上的投影为 |b|cos〈a，b〉＝4×cos120°＝－2.
2．设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝________. 答案 1
解析 ∵|a＋b|＝(a＋b)＝a＋2a·b＋b＝10，① |a－b|＝(a－b)＝a－2a·b＋b＝6，② 由①－②得4a·b＝4， ∴a·b＝1.
3．若a⊥b，c与a及与b的夹角均为60°，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则(a＋2b－c)＝________. 答案 11
解析 (a＋2b－c)＝a＋4b＋c＋4a·b－2a·c－4b·c＝1＋4×2＋3＋4×0－2×1×3×cos60°－4×2×3×cos60°＝11.
→→→→→
4．在△ABC中，|AB|＝13，|BC|＝5，|CA|＝12，则AB·BC的值是________． 答案 －25
→2→2→2
解析 易知|AB|＝|BC|＋|CA|，C＝90°. 5
∴cosB＝，
13
→→
又cos〈AB，BC〉＝cos(180°－B)， →→→→
∴AB·BC＝|AB||BC|cos(180°－B)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
?5?＝13×5×?－?＝－25. ?13?
5．已知正三角形ABC的边长为1，求： →→→→→→(1)AB·AC；(2)AB·BC；(3)BC·AC. →→
解 (1)∵AB与AC的夹角为60°，
11→→→→
∴AB·AC＝|AB||AC|cos60°＝1×1×＝. 22→→
(2)∵AB与BC的夹角为120°， →→→→
∴AB·BC＝|AB||BC|cos120° 1?1?＝1×1×?－?＝－. 2?2?
→→
(3)∵BC与AC的夹角为60°，
11→→→→
∴BC·AC＝|BC||AC|cos60°＝1×1×＝. 22
1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．
2．两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆．
3．a·b＝|a||b|cosθ中，|b|cosθ和|a|cosθ分别叫做b在a方向上的投影和a在b方向上的投影，要结合图形严格区分． 4．求投影有两种方法
(1)b在a方向上的投影为|b|cosθ(θ为a，b的夹角)，a在b方向上的投影为|a|cosθ. (2)b在a方向上的投影为
a·ba·b，a在b方向上的投影为. |a||b|
2
5．两非零向量a，b，a⊥b?a·b＝0，求向量模时要灵活运用公式|a|＝a.
一、填空题
1．已知|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝19，则|a－b|＝________. 答案
7
2
解析 因为|a＋b|＝19， 所以a＋2a·b＋b＝19， 所以2a·b＝19－4－9＝6，
于是|a－b|＝|a－b|＝4－6＋9＝7.
2．已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b的夹角θ＝150°，则a·b＝________. 答案 －63
3．已知|a|＝9，|b|＝62，a·b＝－54，则a与b的夹角θ为________． 答案 135°
22
2
a·b－542
解析 ∵cosθ＝＝＝－，
|a||b|9×622
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝135°.
4．若|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的投影
为________． 答案 －1
解析 向量a在向量b方向上的投影是|a|cosθ＝2×cos120°＝－1.
5．已知a，b是非零向量，且(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是________． 答案
π 3
122
解析 由(a－2b)·a＝0及(b－2a)·b＝0，得a＝b＝2|a||b|cosθ，所以cosθ＝，0
2π
∈[0，π]，所以θ＝.
3
6．已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为120°，则(a＋2b)·(a－3b)＝________. 答案 －48
解析 由题意，得a·b＝|a||b|cos120°＝－12，
则(a＋2b)·(a－3b)＝a－6b－a·b＝6－6×4－(－12)＝－48.
7．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连结DE并延长→→
到点F，使得DE＝2EF，则AF·BC的值为________． 1答案
8
→→→1→3→解析 如图所示，∵AF＝AD＋DF＝AB＋AC，
24→→→
BC＝AC－AB，
2
2
2
2
→→?1→3→?→→∴AF·BC＝?AB＋AC?·(AC－AB)
4??21→21→→3→2
＝－|AB|－AB·AC＋|AC|
24411131＝－×1－×1×1×＋＝.
24248
8．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为________． 答案 120°
1
9．已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，若向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹
3
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