2018_19届高中数学第2章平面向量2.4向量的数量积学案苏教版

角为β，则cosβ＝________. 答案

22

3

2

解析 ∵|a|＝?3e1－2e2?＝|b|＝?3e1－e2?＝

2

1

9＋4－12×1×1×＝3，

3

1

9＋1－6×1×1×＝22，

3

2

2

∴a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9e1－9e1·e2＋2e2 1

＝9－9×1×1×＋2＝8，

3∴cosβ＝

a·b822

＝＝. |a||b|3×223

10．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝________. 答案 22

解析 |2a－b|＝(2a－b)＝4a－4a·b＋b＝8，所以|2a－b|＝22.

→→→→→→→→→

11．已知点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值是________． 答案 －25

→2→2→2

解析 ∵|CA|＝|AB|＋|BC|， →→

∴∠B＝90°，∴AB·BC＝0. 43

∵cosC＝，cosA＝，

55

→→→→?4?∴BC·CA＝|BC||CA|cos (180°－C)＝4×5×?－?＝－16.

?5?→→→→?3?CA·AB＝|CA||AB|cos(180°－A)＝5×3×?－?＝－9.

?5?→→→→→→

∴AB·BC＋BC·CA＋CA·AB＝－25. 二、解答题

12．已知非零向量a，b，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．

解 由向量垂直得

???a＋3b?·?7a－5b?＝0，?

??a－4b?·?7a－2b?＝0，?

2

2

2

2

??7a＋16a·b＝15b，即?22

?7a－30a·b＝－8b，?

2

2

1??a·b＝|b|2，

2化简得?

??|a|＝|b|，

12

|b|

a·b21

∴cos〈a，b〉＝＝2＝，

|a||b||b|2又∵〈a，b〉∈[0，π]， π

∴a与b的夹角为.

3

13．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是60°，计算： (1)(2a＋b)·(2a－b)；(2)|4a－2b|. 解 (1)(2a＋b)·(2a－b)＝(2a)－b ＝4|a|－|b|＝4×4－8＝0. (2)∵|4a－2b|＝(4a－2b) ＝16a－16a·b＋4b

＝16×4－16×4×8×cos60°＋4×8 ＝256.

∴|4a－2b|＝16. 三、探究与拓展

π

14．已知向量a，b满足|a|＝1，a与b的夹角为，若对一切实数x，|xa＋2b|≥|a＋b|

3恒成立，则|b|的取值范围为__________． 答案 [1，＋∞)

解析 对不等式|xa＋2b|≥|a＋b|两边平方得，(xa＋2b)≥(a＋b)，所以x·|a|＋4a·bxππ222＋4|b|≥|a|＋2a·b＋|b|，又a与b的夹角为，且|a|＝1，则有a·b＝|a|·|b|·cos

331122222

＝|b|，所以有x＋4x·|b|＋4|b|≥1＋|b|＋|b|，即x＋2|b|x＋3|b|－1－|b|≥0，22此式对一切实数x恒成立，所以有Δ＝4|b|－4(3|b|－1－|b|)≤0，即有2|b|－|b|－1

??2|b|＋1≥0，≥0，所以(2|b|＋1)(|b|－1)≥0，所以?

??|b|－1≥0

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

??2|b|＋1≤0，

或???|b|－1≤0，

所以|b|≥1

1

或|b|≤－(舍去)．

2

11

15．已知非零向量a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝，且a·b＝. 22(1)求向量a，b的夹角； (2)求|a－b|.

解 (1)设向量a，b的夹角为θ.

1112222

∵(a－b)·(a＋b)＝，∴a－b＝，即|a|－|b|＝.

222又∵|a|＝1，∴|b|＝

2

. 2

112

又∵a·b＝，∴|a||b|cosθ＝，∴cosθ＝，

222又∵θ∈[0°，180°]， ∴向量a，b的夹角为45°. (2)∵|a－b|＝(a－b)

122

＝|a|－2|a||b|cosθ＋|b|＝，

2∴|a－b|＝

2. 2

2

2