∴BD：CD＝BE：CG， ∴BD：CD＝2CF：CF＝2， ∴BD＝2DC，
∴BD与CD的数量关系与∠BAC的度数无关；
（3）解：∵BD与CD的数量关系与∠BAC的度数无关， ∴若∠BAC＝α，那么（2）中的结论仍然还成立． 【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识点，关键在于正确地作出辅助线，求证相关的三角形全等，进行等量代换． 20．（1）x1?【解析】 【分析】
（1）先去分母，将分式方程化为一元二次方程，然后解答即可，注意分式方程验根； （2）先设x?1=m，【详解】
解：（1）去分母，得x+（1-x）（3-3x）-4x（1-x）=0， 去括号，得x+3-3x-3x+3x-4x+4x=0， 合并同类项，得8x-10x+3=0， 分解因式，得（2x-1）（4x-3）=0， ∴2x-1=0或4x-3=0， ∴x1=
2
2
2
2
2
?x1?8?x2?313x?，2；（2）?，?.
y?6y?1142?1?2y?2=n，则x=m2-1，y=n2+2，然后将方程化为一元二次方程，然后解答即可．
31，x2=， 241代入分式方程，左边=0=右边， 2检验：将x1=将x2=
3代入分式方程，左边=0=右边， 4因此x1=
31，x2=是分式方程的根． 2431，x2=； 24所以原分式方程的根为x1=
（2）设x?1=m，y?2=n，则x=m2-1，y=n2+2，
?m?n?5①原方程组可化为?2 2m?n?13②?由①，得m =5-n③
③代入②，得（5-n）2+n2=13， 整理，得2n2-10n+12=0， 即n2-5n+6=0，
解这个方程，得n =2或3，
?m1?3?m2?2∴?n1?2，?n2?3 ???x1?8?x2?3∴原方程组的解为?y1?6，?y2?11．
??【点睛】
本题考查了解分式方程与无理方程，将分式方程与无理方程转化为一元二次方程是解题的关键． 21．
22, x?19【解析】 【分析】
根据分式的运算法则即可求出答案． 【详解】
2x2(x?2)(x?1)2??解：原式＝ x?1(x?1)(x?1)x?2??2x2x?2? x?1x?12 x?12. 9当x＝8时， 原式＝
【点睛】
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 22．(1)①证明见解析；②12；③【解析】 【分析】
（1）①如图1中，根据AAS证明：△ABE≌△DFA即可． ②利用勾股定理求出BE，即可解决问题．
③如图2中，过点F作FM⊥BC于点M．求出FM，MC即可解决问题． （2）分三种情形分别求解即可解决问题． 【详解】
解：(1)①如图1中，
1；(2)当BE为3或2.5或2时，△CDF是等腰三角形． 2
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠B＝90°，∴∠AEB＝∠DAF． ∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90°． ∴∠B＝∠AFD＝90°， 又∵AE＝BC， ∴AE＝AD，
∴△ABE≌△DFA(AAS)．
②如图1中，在Rt△ABE中，∠B＝90°，
根据勾股定理，得 BE＝?AE2?AB2?52?42＝3， ∵△ABE≌△DFA，
∴DF＝AB＝DC＝4，AF＝BE＝3． ∵AE＝BC＝5，∴EF＝EC＝2，
∴四边形CDFE的周长＝2(DC+EC)＝2×(4+2)＝12． ③如图2中，过点F作FM⊥BC于点M．
?sin?AEB?AB4BE3?,cos?AEB?? ， AE5AE54836EF?,ME?EF?， 5555在Rt△FME中， FM??MC?ME?EC?616?2?， 55FM1?． MC2在Rt△FMC中， tan?FCE?(2)如图3﹣1中，当DF＝DC时，则DF＝DC＝AB＝4．
∵∠AEB＝∠DAF，∠B＝∠AFD＝90°， ∴△ABE≌△DFA(AAS)． ∴AE＝AD＝5，
由②可知，BE＝3，∴当BE＝3时，△CDF是等腰三角形．…
如图3﹣2中，当CF＝CD时，过点C作CG⊥DF，垂足为点H，交AD于点G，
则CG∥AE，DH＝FH． ∴AG＝GD＝2.5． ∵CG∥AE，AG∥EC，
∴四边形AECG是平行四边形，
∴EC＝AG＝2.5，∴当BE＝2.5时，△CDF是等腰三角形．…
如图3﹣中，当FC＝FD时，过点F作FQ⊥DC，垂足为点Q． 则AD∥FQ∥BC，DQ＝CQ，
∴AF＝FE＝
1AE． 2∵∠B＝∠AFD＝90°，∠AEB＝∠DAF， ∴△ABE∽△DFA， ∴
BEAE?，即AD×BE＝AF×AE． AFAD12x?42?x2?42， 2设BE＝x， ∴5x＝解得x1＝2，x2＝8(不符合题意，舍去) ∴当BE＝2时，△CDF是等腰三角形．
综上所述，当BE为3或2.5或2时，△CDF是等腰三角形． 【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形互为相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 23．（1）【解析】 【分析】
（1）由小亮打第一场，再从其余三人中随机选取一人打第一场，求出恰好选中小刚的概率即可； （2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出小莹和小芳伸“手心”或“手背”恰好相同的情况数，即可求出所求的概率． 【详解】
解：（1）∵确定小亮同学打第一场，
∴再从小莹、小芳和小刚中随机选取一人打第一场，恰好选中小刚同学的概率为（2）画树状图如下：
11；（2）. 341； 3
所有等可能的情况有8种，其中小莹和小芳伸“手心”或“手背”恰好相同且与小刚不同的结果有2
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