7i＝1
7i＝1
n
－
参考数据：∑yi＝9.32，∑tiyi＝40.17，∑ （yi－y）2＝0.55，7≈2.646.
i＝1
－
7－
∑ （ti－t）（yi－y）
参考公式：相关系数r＝
∑ （ti－t）2∑ （yi－y）2
i＝1
^
^
^
i＝1
i＝1n－
n，
－
回归方程y＝a＋bt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
n
∑ （ti－t）（yi－y）b＝
^
i＝1
－－
∑ （ti－t）2
i＝1
n－
，a＝y－b t.
^
－
^
－
解 (1)由折线图中数据和附注中参考数据得
－
7i＝1
t＝4，∑ (ti－t)＝28，7
－
－
－
2
∑ （yi－y）2＝0.55.
i＝1
－
7－
i＝1
∑ (ti－t)(yi－y)＝i∑tiyi－t∑yi＝40.17－4×9.32＝2.89， ＝1
i＝1
7
7
r≈
2.89
≈0.99.
2×2.646×0.55
因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.
7
9.32i＝1^(2)由y＝7≈1.331及(1)得b＝
－
∑ （ti－t）（yi－y）
∑ （ti－t）2
i＝17－
－－
2.89
＝28≈0.103，
a＝y－b t≈1.331－0.103×4≈0.92.
所以y关于t的回归方程为y＝0.92＋0.10t.
将2016年对应的t＝9代入回归方程得y＝0.92＋0.10×9＝1.82. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨. 热点四 独立性检验
【例4】 (2018·全国Ⅲ卷)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完
^
^
^
－
^
－
成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如图所示的茎叶图：
(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：
第一种生产方式 第二种生产方式 超过m 不超过m (3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
2
n（ad－bc）
附：K2＝，
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
P(K2≥k0) k0 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 －
解 (1)第一种生产方式时间集中在区间[80，90]，且平均工作时间x1＝84. 第二种生产方式的时间集中在区间[70，80)，且平均工作时间x2＝74.7. ∴x1>x2，所以第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种， ∴第二种生产方式的效率更高.
－
－
－
(2)由茎叶图数据得到m＝80. 由此填写列联表如下：
第一种生产方式 第二种生产方式 总计 (3)根据(2)中的列联表计算.
22
n（ad－bc）40（15×15－5×5）
K2＝＝＝10>6.635，所以
20×20×20×20（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
超过m 不超过m 15 5 20 5 15 20 总计 20 20 40 有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异. 探究提高 1.独立性检验的一般步骤 (1)根据样本数据制成2×2列联表； (2)根据公式K2＝
n（ad－bc）2
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
计算K2的值；
(3)查表比较K2与临界值的大小关系，作统计判断.
2.K2的观测值k越大，对应假设事件H0成立(两类变量相互独立)的概率越小，H0不成立的概率越大.
【训练4】 微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人(被称为微商).为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名，将男性、女性使用微信的时间分成5组：(0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)根据女性频率分布直方图估计女性使用微信的平均时间；
(2)若每天玩微信超过4小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，请你根据已知条件完成2×2的列联表，并判断是否有90%的把握认为“微信控”与“性别有关”？
解 (1)女性平均使用微信的时间为：
0.16×1＋0.24×3＋0.28×5＋0.2×7＋0.12×9＝4.76(小时). (2)由已知得：2(0.04＋a＋0.14＋2×0.12)＝1，解得a＝0.08. 由题设条件得列联表
男性 女性 总计 微信控 非微信控 38 30 68 12 20 32 总计 50 50 100 2
n（ad－bc）
∴K2＝
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
100（38×20－30×12）2＝≈2.941>2.706.
50×50×68×32所以有90%的把握认为“微信控”与“性别”有关.
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