QH∴AD?AP，BH?．
BCECPHQH即AD·QH＝AP·PH ① BC·QH＝BH·EC ②
由第(1)问可知，BC＝AD＝3，AB＝EC＝5． ∴AP·PH＝BH·EC．
设AP＝x，BH＝y，则PH＝AB＋BH－AP＝5＋y－x，
2
∴x(5＋y－x)＝5y．整理得x－(5＋y)x＋5y＝0．即(x－5)(x－y)＝0． ∴x＝5或x＝y．∵点P与点B不重合，∴舍去x＝5． 当x＝y时，PH＝5． ∴DP＝AD＝3． PQPH5Q
E
D A P
Q D O1 P(M) B
图3
C
O2 E
B H C A 图2
ii) 234．
3提示：设DQ的中点为O，连结OB．∵∠DBE＝90°，∴DO＝BO． ∴点O在线段DB的垂直平分线上．
∴点O所经过的路径是线段DB垂直平分线上的一部分(线段)． 当点P与点A重合时，DQ的中点即是DB的中点O1．
设AC的中点为M，当点P与点M重合时，如图3，设此时DQ的中点为O2． ∵AD＝3，AM＝4，∴DM＝5．
由i)可知DM＝3，∴5＝3．∴MQ＝25．
MQ5MQ53534．
在Rt△DMQ中，DQ＝DM2?MQ2＝3在Rt△ABD中，DB＝AD2?AB2＝34．
434．
在Rt△DBQ中，BQ＝DQ2?DB2＝3∴O1O2＝1DB＝2234． 35. （2013广东佛山，17，6分）网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A，B，C，D，E，F都是格点，
试说明△ABC∽△DEF．
解：因为AC=2、BC=10、AB=4，DF=22、EF=210、DE=8，所以
ACBCAB1???，所以△DFEFDE2ABC∽△DEF．
6.（2013湖南永州，25，10分）如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD．
(1)若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由；
(2) 若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；
(3) 若AB=9，CD=4，BD=15，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；
(4) 若AB=m，CD=n，BD=l，请问在m、n、l满足什么关系时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点? 两个P点? 三个P点?
ACB
【解答过程】(1)设BP=x，则DP=10-x 如果是△ABP∽△CDP，则即
PD
ABBP?CDDP，即
9490ABBP，解得x?； 如果是△ABP∽△PDC，则??x10?x13PDCD，
9x?，得方程：x2?10x?36?0，方程无解；
10?x490所以BP=
13
(2)设BP=x，则DP=12-x 如果是△ABP∽△CDP，则即
ABBP94108ABBP，即?，解得x?；如果是△ABP∽△PDC，则，??CDDPx12?x13PDCD9x?，得方程：x2?12x?36?0，解得x=6；
12?x4108所以BP=6或
13（3）设BP=x，则DP=15-x 如果是△ABP∽△CDP，则即
ABBP94135ABBP，即?，解得x?；如果是△ABP∽△PDC，则，??CDDPx15?x13PDCD9x?，得方程：x2?12x?36?0，解得x=3或12
15?x4135所以BP=，3或12.
13（4）设BP=x，则DP=l-x
如果是△ABP∽△CDP，则即
ABBPmnmlABBP，即?，解得x?；如果是△ABP∽△PDC，则，??CDDPxl?xm?nPDCDmx?，得方程：x2?lx?mn?0，??l2?4mn l?xn当??l?4mn?0时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一
2个P点；
当??l?4mn?0时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的两个P点；
当??l?4mn?0时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的三个P点；
7. （2013四川南充，19，8分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∠B＝60°，P为BC
边上一点（不与B，C重合），过点P作∠APE＝∠B，PE交CD 于E. (1)求证:△APB∽△PEC; (2)若CE＝3,求BP的长.
A
D
E22B【答案】(1)证明:梯形ABCD中,∵AD∥BC,AB＝DC.
P
C
∴∠B＝∠C＝60°. ?????1′ ∵∠APC＝∠B＋∠BAP, 即∠APE＋∠EPC＝∠B＋∠BAP. ∵∠APE＝∠B,
∴∠BAP＝∠EPC. ?????2′ ∴△APB∽△PEC. ?????3′ (2)过点A作AF∥CD交BC于F.
则四边形ADCF为平行四边形,△ABC为等边三角形. ?????4′ ∴CF＝AD＝3,AB＝BF＝7－3＝4.
∵△APB∽△PEC, ?????5′ ∴
BPAB＝, ECPCx4＝ ?????6′ 37?x
设BP＝x,则PC＝7－x,又EC＝3, AB＝4, ∴
整理,得x2－7x＋12＝0.
解得 x1＝3, x2＝4. ?????7′ 经检验, x1＝3, x2＝4是所列方程的根,
∴BP的长为3或4. ?????8′
A
DEB
8. （2013四川资阳，23，11分）在一个边长为a(单位:cm)的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC、CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N．
ANHFBEC(M)FEMCDANHDPF
C
B
(1)如图8－1，当点M与点C重合，求证:DF＝MN；
(2)如图8－2，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以2cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t(t＞0):
①判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由．
②连结FM、FN，△MNF能否为等腰三角形?若能，请写出a、t之间的关系；若不能，请说明理由．
解: (1)∵∠DAF＝90°，∴∠ADF＋∠AFD＝90°．∵MN⊥DF，∴∠HDN＋∠HND＝90°． ∴∠AFD ＝∠HND． 又∵AD＝DC， ∠DAF＝∠CDN＝90°，∴△DAF≌△CDN(AAS)． ∴DF＝MN． (2) ①真命题．理由:根据题意，得CM＝t， AE＝2t， AF＝
图8-1图8-2a，AC＝2a，CE＝2(a－t)． 2a2tAFAE1∵AF∥CD， ∴△AFE∽△CDE．∴＝，即2＝．化简，得 a－t ＝2t， t ＝a．所以命
CDCE3a2(a?t)题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真命题．
②△MNF能为等腰三角形．分三种情况讨论:
当MF＝NF时(如图8－2－1)，点E移动到AC中点， 点F与点B重合． 此时a>t， a2＝2(2t)2，解得a＝2t．
ANDHMEa2ttCF(B)图8-2-1
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