解：（1）3；
（2）过点P作PH⊥AB,PG⊥BC，垂足分别为H,G.则∠PHE=∠PGF=90, 由（1）得
0
PH=3. PG
0000
又∠ABC=90，∴四边形PHBG为矩形，∴∠HPG=90，∴∠HPE+∠EPG=90,又∠EPF=∠EPG+∠GPF=90, ∴∠HPE=∠GPE=∠α， ∴RT△PHE∽RT△PGF, ∴∴
PEPH=. PFPGPE=3. PF(3)变化。
证明：过点P作PH⊥AB,PG⊥BC，垂足分别为H,G. 由（1）知△APH∽△PCG,∴
PH3PHAP1PHPH10
=, ==,又CG=PGtan60=3PG,∴==,∴PG2CGPC2CG23PG 根据（2），∴
PEPH=. PFPG
∴
PH3=. PG212. （2013广东省，22，8分）如题22图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C．
（1）设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1 S2+S3（用“＞”、“=”、“＜”填空）；
（2）写出题22图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．
【答案】（1）=；
（2）△BCD∽△DEC；△BCD∽△CFB；△DEC∽△CFB.
选证△BCD∽△CFB，理由如下（可以纯粹利用角间关系证明）： 在矩形ABCD中和矩形BDEF中 ∠DBF=∠F=∠BCD=90
∴∠DBC+∠CBF=∠BCF+∠CBF=90
∴∠DBC =∠BCF ∴△BCD∽△CFB
选证△BCD∽△DEC，理由如下（可以利用直角和平行边证明）： 在矩形ABCD中和矩形BDEF中 ∠E=∠BCD=90，且BD∥EF ∴∠BDC =∠DCE ∴△BCD∽△DEC
选证△DEC∽△CFB，理由如下： 在矩形ABCD中和矩形BDEF中 ∠E=∠F=∠BCD=90
∴∠BCF+∠CBF=∠BCF+∠DCE=90
∴∠CBF =∠DCE ∴△DEC∽△CFB
13. （2013，江苏苏州，26，8分）如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB
于点E，连接BP并延长BP交边AD于点F，交CD的延长线于点G． (1)求证：△APB≌△APD；
(2)已知DF：FA＝1：2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y． ①求y与x的函数关系式；
②当x＝6时，求线段FG的长．
00000
【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，AC平分∠DAB. ∴∠DAP=∠BAP.
?AB?AD?在△APB和△APD中，??BAP??DAP，∴△APB≌△APD.
?AP?AP?（2）①∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD=BC. ∴△AFP∽△CBP. ∴∵DF：FA＝1：2，∴AF：BC＝2：3，∴FP：BP＝2：3， 由（1）知PB=PD=x.
AFFP, ?BCBP22y2?，∴y?x.即y与x的函数关系式为y?x.
33x32②当x＝6时，y??6?4.∴FB=FP+PB=10.
3FGFDFG11∵DG∥AB，∴△DFG∽△AFB. ∴，??，∴FG??10?5.
FBFAFB22又∵PF=y，∴
∴线段FG的长为5．
14. （2013，江苏苏州，28，9分）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝10cm，BC＝12cm．点E，F，
G分别从A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm／s，点G的运动速度为1.5cm／s．当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB'F，设点E，F，G运动的时间为t（单位：s）．
(1)当t＝ ▲ s时，四边形EBFB'为正方形；
(2)若以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；
(3)是否存在实数t，使得点B'与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2.5.
（2）由题意知AE=t，BF=3t，CG=1.5t.. ∵AB=10，BC=12. ∴BE=10-t，FC=12-3t. ∵点F在BC上运动，∴0≤t≤4.
EBBF10?t3t14，∴，∴t?. ??FCCG12?3t1.5t5EBBF10?t3t②当△EBF∽△GCF时，得，∴， ??CGFC1.5t12?3t①当△EBF∽△FCG时，得
2∴t?28t?80?0，∴t1??14?269，t2??14?269（舍去）.
∵0≤t≤4. ∴t?14或t??14?269符合题意. 5（3）不存在.理由如下：连接BD.
∵点O为矩形ABCD的对称中心，∴点O为BD的中点.
假设存在这样的实数t，使得点B'与点O重合.此时EF是OB的垂直平分线，垂足为点H. ∴易知BD?261，BH?BD61. ?42易证△EHB∽△BHF∽△BCD. ∴BF?6161，BE?，∴AE=10-BE=3.9. 1210∵点F的运动速度是点E运动速度的3倍，但∴不存在实数t，使得点B'与点O重合.
BF?3. AE
15. （2013四川资阳，23，11分）在一个边长为a(单位:cm)的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC、CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N．
ANHFBEC(M)FEMCDANHDB
(1)如图8－1，当点M与点C重合，求证:DF＝MN；
(2)如图8－2，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以2cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t(t＞0):
①判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由．
②连结FM、FN，△MNF能否为等腰三角形?若能，请写出a、t之间的关系；若不能，请说明理由．
解: (1)∵∠DAF＝90°，∴∠ADF＋∠AFD＝90°．∵MN⊥DF，∴∠HDN＋∠HND＝90°． ∴∠AFD ＝∠HND． 又∵AD＝DC， ∠DAF＝∠CDN＝90°，∴△DAF≌△CDN(AAS)． ∴DF＝MN． (2) ①真命题．理由:根据题意，得CM＝t， AE＝2t， AF＝
图8-1图8-2a，AC＝2a，CE＝2(a－t)． 2a2tAFAE1∵AF∥CD， ∴△AFE∽△CDE．∴＝，即2＝．化简，得 a－t ＝2t， t ＝a．所以命
CDCE3a2(a?t)题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真命题．
②△MNF能为等腰三角形．分三种情况讨论:
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