AOHBED图9C
【答案】证明：（1）∵在等腰直角三角形ADE中， ∠EAD=45°，
又 ∵AC是正方形ABCD的对角线， ∴∠DAC =45°，
∴∠EAC=∠EAD+∠DAC =45°+45°=90°， 又点A在⊙O上， ∴AC是⊙O的切线.
（2）∵在正方形ABCD中，AD=DC=AB, 在等腰直角三角形ADE中，AD=ED ∴EC=2AB ∵AB∥DC
∴△ABH∽△CEH
∴
HCEC=2 ?AHAB∴HC=2AH
24. （2013江苏宿迁，26,10分）（本题满分10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接BE．
（1）若∠C＝30°，求证：BE是△DEC外接圆的切线；
（2）若BE＝3，BD＝1，求△DEC外接圆的直径．
AEBDC第26题图
解：（1）取CD的中点O，连接OE． ∵点E为Rt△ABC斜边AC的中点，
∴BE＝
1AC＝AE． 2∴∠A＝∠ABE＝90°－∠C＝90°－30°＝60°． ∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠C＝30°．
∴∠BEO＝180―∠AEB―∠OEC＝90°，即BE⊥OE．
又∵OE为⊙O的半径，
∴BE是△DEC外接圆的切线．
AE
（2）设CD的长为x，则BC＝x＋1．
∵BE＝3，DE垂直平分AC，
∴EC＝BE＝3，AC＝23，∠DEC＝∠ABC＝90°． ∵∠ECD＝∠BCA， ∴△CED∽△CBA． ∴
BDOC3xCECD?，即． ?x?123CBCA∴x2＋x－6＝0
∴x＝2或x＝－3（不合题意，舍去）．
即△DEC外接圆的直径为2． 25. (2013上海，25,10分)在矩形ABCD中，点P是边AD上的动点，联结BP，线段BP的垂直平分线交边BC于点Q，垂足为点M，联结QP（如图10）．已知AD?13，AB?5，设AP?x，BQ?y． （1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（2）当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时，求x的值；
（3）点E在边CD上，过点E作直线QP的垂线，垂足为F，如果EF?EC?4，求x的值．
AMPDBQ图10
C【解】
解：（1）在矩形ABCD中，AD∥BC，?A?90， ∴?APB??MBQ，
∵段BP的垂直平分线交边BC于点Q，
∴MQ⊥BP，BM?01BP，PQ=BQ， 20∴?A??QMB?90，BP?
25?x2，
∴△ABP∽△MQB,
APBPx25?x2 ∴，即， ??1yBMBQ25?x2225?x2 即y?， x的取值范围为1?x?12；
2x（2）当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时，
即PQ=AP+CQ，可得BQ=AP+CQ，
25?x225 y?x?12?y，可得， ?x?12，解得x?x120（3）如图，∵EF?EC?4，?C??EFQ?90， ∴?FQE??CQE，
∵?CQF??QPB??QBP， ∴?CQE??QPB??QBP，
即?APB??EQC，tan?APB?tan?EQC，
544 可得?，即y?13?x，
x13?y522 可得x?5?26或者x?5?26（舍去）
13132 ∴x的值为x?5?26
1326.（2013广东省，24，9分）如题24图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，?ABC?90，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E． （1）求证：∠BCA=∠BAD； （2）求DE的长；
（3）求证：BE是⊙O的切线．
0
【答案】（1）在⊙O中，∵弦BD=BA，且圆周角∠BCA和∠BAD分别对BA和BD， ∴∠BCA=∠BAD.
（2）∵BE⊥DC，∴?E?90 又∵∠BAC=∠EDB ∴△ABC∽△DEB ∴
0ABAC， ?DEBD0在Rt△ABC中，?ABC?90，AB=12，BC=5，由勾股定理得AC=13，
1213?， DE12144∴DE=.
13∴
（3）如图，连结OB，
∵OA=OB
∴∠OAB=∠OBA ∵BA=BD
∴∠OBD=∠OBA 又∠BDC=∠OBA ∴∠OBD=∠BDC ∴OB∥DE ∴∠ODE=90
即BE⊥OB于B，所以，BE是⊙O的切线.
27. （2013江西南昌，22，8分）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交于点A，点P（4，2）是⊙O外一点，连接AP，直线PB与⊙O相切于点B，交x轴于点C. （1）证明PA是⊙O的切线； （2）求点B的坐标.
0
【答案】解：（1）证明：依题意可知，A（0，2）
∵A（0，2），P（4，2）， ∴AP∥x轴，
∴∠OAP=90°，且点A在⊙O上， ∴PA是⊙O的切线； （2）解法一：
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