②令?(??)=??(??)???(??)=???????2???(ln?????)=2???????2??+??， 则?′(??)=
2??
1122
?2?
2??2
=?
2(??2???+1)
??2
<0，
∴?(??)在(0,+∞)上单调递减． 又?(1)=0，
∴当00，即??(??)>??(??)； 当??=1时，?(??)=0，即??(??)=??(??)； 当??>1时，?(??)<0，即??(??)
??
2
2(??2?2?????1)
??
11
1
，
令??′(??)=0，解得??=??±√??2+1． ∵??>0，∴??+√??2+1>1，
∴??′(??)在(1,+∞)上有唯一零点??0=??+√??2+1．
当??∈(1,??0)时，??′(??)<0，??(??)在(1,??0)上单调递减，
当??∈(??0,+∞)时，??′(??)>0，??(??)在(??0,+∞)上单调递增．
∴??(??)??????=??(??0).
∵??(??)≥0在(1,+∞)恒成立，且??(??)=0有唯一解， 2??0????4??=0??′(??0)=0
0∴{，即{，
??(??0)=02
??0+1?2??????0?4????0=0
2
+1?2??????0?(2??0???)??0=0， 消去a，得??0
0
2
2
2
即?2??????0???0+3=0．
2令?(??0)=?2??????0???0+3，则?′(??0)=????2??0，
0
2
∵?′(??0)<0在(1,+∞)上恒成立，∴?(??0)在(1,+∞)上单调递减， 又?(1)=2>0，?(2)=?2????2?1<0，∴1
0
11
∴??<．
4
3
【解析】(1)①把??=?1代入函数解析式，求出函数的导函数得到??′(1)=?1，再求出??(1)，利用直线方程的点斜式求函数??(??)在点??(1,??(1))处的切线方程；
②令?(??)=??(??)???(??)=???????2???(ln?????)=2???????2??+??，利用导数研究??(??)>??(??)；??(??)=??(??)；函数的单调性，可得当01时，??(??)
(2)由题意，??′(??)在(1,+∞)上有唯一零点??0=??+√??2+1.利??2+1?2???????4????≥0，
用导数可得当??∈(1,??0)时，??(??)在(1,??0)上单调递减，当??∈(??0,+∞)时，??(??)在(??0,+∞)上单调递增，得到??(??)??????=??(??0).由??(??)≥0在(1,+∞)恒成立，且??(??)=0有
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1
1
1
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1
2
2
2??′(??0)=022+1?2??????0?(2??0???)??0=0，唯一解，可得{，得??0即?2??????0???0+3=0.0??(??0)=02
令?(??0)=?2??????0???0则?′(??0)=????2??0，再由?′(??0)<0在(1,+∞)上恒成立，+3，
0
2
得?(??0)在(1,+∞)上单调递减，进一步得到??=2(??0???)在(1,2)上单调递增，由此可得
0
11
??<．
4
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．
3
21.【答案】解：∵矩阵??=[30]，A的逆矩阵???1=[3
2????
1103030?12∴????=[][]=[+??????]，
2????13
解得??=1，??=?3， 30
∴??=[]．
21
???30
|???????|=[]=(???3)(???1)=0，
?2???1解得A的特征值为1或3．
2
1
01
]，
30
]，A的逆矩阵???1=[3【解析】由矩阵??=[
2????
30??=[].由此能求出A的特征值．
21
1
01
]，求出??=1，??=?3，从而得到2
本题考查矩阵的特征的求法，考查矩阵的逆矩阵、矩阵的特征值等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．
√322.【答案】解：直线l过点??(√3,6)，??(3,0)转化为直角坐标为：??(3,)，??(3,0)，
22
??
则直线l的方程为：??+√3???3=0．
曲线C：??=??????????(??>0)转化为直角坐标方程为：(???)2+??2=
2直线l与曲线C有且只有一个公共点， 则：
|?3|2
??2??
??24
，
=2 ??
解得：??=2(负值舍去)． 实数a的值为2．
【解析】首先把极坐标转化为直角坐标，进一步把极坐标方程转换为直角坐标方程，利用直线和曲线的位置关系：点到直线的距离等于半径，求出a的值．
本题考查的知识要点：极坐标和直角坐标的互化，极坐标方程与普通方程的互化，点到直线距离公式的应用，直线和曲线的位置关系得应用．
(1)将??(2,??0)代入??2=2????得??0=??，【答案】解：又|????|=??0?(?2)=??+2=2，23.
∴??=1，
∴抛物线的方程为??2=2??，
2
??
2
??
5
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(2)直l的斜率显然存在，设直线l：??=????+??，??(??1,??1)、??(??2,)
2??=????+??由{2得：??2?2?????2??=0 ??=2??∴??1+??2=2??，??1??2=?2??
12
由，????????????=?????=
1
2
2??2
????
??1??24
=?2=?2，∴??=4
??
∴直线方程为：??=????+4，所以直线恒过定点(0,4)， 原点O到直线l的距离??=√1+??2， ∴????????=2×??|????|=2×2√1+??21
1
4√1+??24?√1+??2√(??1+??2)2?4??1??2=
√1+??2√4??2+32=2√4??2+32=16，
∴4??2+32=64，解得??=±2√2
所以直线方程为：??=±2√2??+4．
【解析】本题考查了抛物线的性质，属中档题．
(1)将??(2,??0)代入??2=2????得??0=??，再根据抛物线的定义可得??=1，可得抛物线的方程；
(2)联立直线与抛物线，根据斜率公式和韦达定理以及面积公式可得．
2
24.【答案】解：(1)抛掷一次，出现一个0和一个3时符合要求，故??(1)=2，
抛掷两次，出现1+2，2+1，0+0，3+3，0+3，3+0时，符合要求，故计6种情况，
故??(2)=16=8．
(2)设????被3除时余1的概率为??1(??)，????被3除时余2的概率为??2(??)， 则??(??+1)=2??(??)+4??1(??)+4??2(??)，① ??1(??+1)=4??(??)+2??1(??)+4??2(??)，② ??2(??+1)=4??(??)+4??1(??)+2??2(??)，③ ①?(②+③)，得：
??(??+1)?[??1(??+1)+??2(??+1)]=?[??1(??)+??2(??)]，
21
1
1
1
1
1
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1
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6
3
1
化简，得4??(??+1)=??(??)+1， ∴??(??+1)?3=4[??(??)?3]， 又??(1)=2， ∴??(??)=3+3×4??．
1
2
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1
(1)抛掷一次，2+1，【解析】出现一个0和一个3时符合要求，抛掷两次，出现1+2，
0+0，3+3，0+3，3+0时，符合要求，故计6种情况，由此能求出??(1)和??(2)．
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(2)设????被3除时余1的概率为??1(??)，????被3除时余2的概率为??2(??)，推导出??(??+1)=
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??(??)+??1(??)+??2(??)，??1(??+1)=??(??)+??1(??)+??2(??)，??2(??+1)=??(??)+
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2
4
4
1
1
1
1
111111
??(??)+2??2(??)，从而4??(??+1)=??(??)+1，进而??(??+1)?3=4[??(??)?3]，由此41
能求出??(??)．
本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
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