《数字信号处理》课后答案

?c5 ?2 222(s?0.6180?cs??c)(s?1.6180?cs??c)(s??c)如上结果中，?c的值未代入相乘，这样使读者能清楚地看到去归一化后，3dB截止频率对归一化系统函数的改变作用。

2. 设计一个切比雪夫低通滤波器，要求通带截止频率fp?3kHz，通带最在衰减速

ap?0.2dB，阻带截止频率fs?12kHz，阻带最小衰减as?50dB。求出归一化传输函数

Ha(p)和实际的Ha(s)。

解：

（1）确定滤波器技术指标：

ap?0.2dB，?p?2?fp?6??103rad/s

as?50dB,?s?2?fs?24??103rad/s

?p?1,?s?（2）求阶数N和?：

?s?4 ?pArch(k?1)N?

Arch(?s)k?1?100.1as?1100.1ap?1?1456.65

N?为了满足指标要求，取N=4。

Arch(1456.65)?3.8659

Arch(4)??10（2）求归一化系统函数Ha(p)

0.1ap?1?0.2171

Ha(p)?1??2N?1?(p?pk)k?1N?11.7386?(p?pk)k?14

其中，极点pk由(6.2.38)式求出如下：

pk??ch(?)sin((2k?1)?(2k?1)?)?jch(?)cos(),k?1,2,3,4 2N2N29

??1111Arsh()?Arsh()?0.5580 N?40.2171p1??ch(0.5580)sin()?jch(0.5580)cos()??0.4438?j1.0715

883?3?p2??ch(0.5580)sin()?jch(0.5580)cos()??1.0715?j0.4438

885?5?p3??ch(0.5580)sin()?jch(0.5580)cos()??1.0715?j0.4438

887?7?p4??ch(0.5580)sin()?jch(0.5580)cos()??0.4438?j1.0715

88（3）将Ha(p)去归一化，求得实际滤波器系统函数Ha(s)

??Ha(s)?Ha(p)p?s

?c ??p41.7368?(s??ppk)k?14??p41.7368?(s?sk)k?14

其中sk??ppk?6??10pk,k?1,2,3,4，因为p4?p?1,p3?p?2，所以

3s4?s?1,s3?s?2。将两对共轭极点对应的因子相乘，得到分母为二阶因子的形式，其系数

全为实数。

Ha(s)?7.2687?1016(s?2Re[s1]s?s1)(s?2Re[s2]s?s2)2222

7.2687?1016?2(s?1.6731?104s?4.7791?108)(s2?4.0394?104s?4.7790?108)

4. 已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为： (1)Ha(s)?s?a； 22(s?a)?bb。式中，a,b为常数，设Ha(s)因果稳定，试采用脉冲响应不变

(s?a)2?b2(2)Ha(s)?法，分别将其转换成数字滤波器H(z)。 解：

该题所给Ha(s)正是模拟滤波器二阶基本节的两种典型形式。所以，求解该题具有代表性，

30

解该题的过程，就是导出这两种典型形式的Ha(s)的脉冲响应不变法转换公式，设采样周期为T。 （1）Ha(s)?s?a

(s?a)2?b2Ha(s)的极点为：

s1??a?jb，s2??a?jb

将Ha(s)部分分式展开（用待定系数法）：

Ha(s)?A1A2s?a?? 22(s?a)?bs?s1s?s2?A1(s?s2)?A2(s?s1)(A1?A2)s?A1s2?A2s1 ?(s?a)2?b2(s?a)2?b2比较分子各项系数可知：

A、B应满足方程：

?A1?A2?1 ???A1s2?A2s1?a解之得

11A1?,A2?

22所以

H(z)??Ak0.50.5??skT?1z1?e(?a?jb)Tz?11?e(?a?jb)Tz?1k?11?e21122 Ha(s)??s?(?a?jb)s?(?a?jb)H(z)??Ak0.50.5?? skT?1(?a?jb)T?1(?a?jb)T?1z1?ez1?ezk?11?e2按照题目要求，上面的H(z)表达式就可作为该题的答案。但在工程实际中，一般用无复数乘法器的二阶基本结构实现。由于两个极点共轭对称，所以将H(z)的两项通分并化简整理，可得

1?z?1e?aTcos(bT)H(z)? ?aT?1?2aT?21?2ecos(bT)z?ez

31

用脉冲响应不变法转换成数字滤波器时，直接套用上面的公式即可，且对应结构图中无复数乘法器，便于工程实际中实现。 （2） Ha(s)?b

(s?a)2?b2Ha(s)的极点为：

s1??a?jb，s2??a?jb

将Ha(s)部分分式展开：

11j?j22 Ha(s)??s?(?a?jb)s?(?a?jb)H(z)?通分并化简整理得

0.5j1?e(?a?jb)Tz??1?0.5j (?a?jb)T?11?ezz?1e?aTsin(bT)H(z)?

1?2e?aTcos(bT)z?1?e?2aTz?25. 已知模拟滤波器的传输函数为： （1）Ha(s)?1；

s2?s?11试用脉冲响应不变法和双线性变换法分别将其转换为数字滤波22s?3s?1（2）Ha(s)?器，设T=2s。 解：

（1）用脉冲响应不变法

①Ha(s)?1 2s?s?1方法1 直接按脉冲响应不变法设计公式，Ha(s)的极点为：

s1??0.5?j33，s2??0.5?j 22?jHa(s)?333)2j?333)2

s?(?0.5?js?(?0.5?j 32