(七)坐标系与参数方程
?x＝22t，
1.已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是?
2y＝?2t＋4(1)判断直线l与曲线C的位置关系；
(2)设M为曲线C上任意一点，求x＋y的取值范围.
2
(t为参数)，以原点
π
θ＋?. 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos??4??x＝22t，
解 (1)由?
2y＝?2t＋4πθ＋?， 由ρ＝2cos??4?2，
消去t，得直线l的普通方程为y＝x＋42.
ππ
得ρ＝2cos θcos －2sin θsin ＝2cos θ－2sin θ.
44∴ρ2＝2ρcos θ－2ρsin θ， 即x2－2x＋y2＋2y＝0. 化为标准方程得?x－
?
2?2?2
＋y＋?2＝1. 2??2?∴圆心坐标为?
22?，半径为1. ，－2??2
∵圆心到直线l：x－y＋42＝0的距离
d＝?2＋2＋42?
2?2?
2
＝5>1，
∴直线l与曲线C相离.
(2)由M(x，y)为曲线C上任意一点，
?x＝22＋cos α，
可设?
2
y＝－＋sin α?2
(α为参数，0≤α<2π)，
πα＋?， 则x＋y＝sin α＋cos α＝2sin??4?∵0≤α<2π， ππ9π
∴≤α＋<， 444
π
α＋?≤2， ∴－2≤2sin??4?∴x＋y的取值范围是[－2，2].
π
2.(2019·辽南协作体模拟)在平面直角坐标系中，直线l过原点且倾斜角为；曲线C1的参数方
4
??x＝3cos α，?x＝3＋13cos α，
3程为?(α为参数)；曲线C2的参数方程为?(α为参数).
?y＝2＋13sin α??y＝sin α
(1)求直线l的极坐标方程，曲线C1和曲线C2的普通方程；
(2)若直线l与曲线C1和曲线C2在第一象限的交点分别为M，N，求M，N之间的距离. π
解 (1)直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)；
4x22
曲线C1 的普通方程为＋y＝1；
13曲线C2的普通方程为(x－3)2＋(y－2)2＝13. 1
(2)曲线C1的极坐标方程为ρ2＝，
1＋2cos2θ曲线C2的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋4sin θ， ππ
∴|ON|＝6cos ＋4sin ＝52，
44|OM|＝
11＋2×?
2?2
?2?
＝2， 2
可得|MN|＝|ON|－|OM|＝52－
292＝. 22
??x＝m＋t，
3.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P(m,2)，其参数方程为?(t为参数，m∈R)，
?y＝2－t?
以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos 2θ＋8cos θ－ρ＝0.
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)若已知曲线C1和曲线C2交于A，B两点，且|PA|＝2|PB|，求实数m的值.
??x＝m＋t，
解 (1)C1的参数方程?(t为参数，m∈R)，
?y＝2－t?
消参得普通方程为x＋y－m－2＝0.
C2的极坐标方程化为ρ(2cos2θ－1)＋8cos θ－ρ＝0，两边同乘ρ得2ρ2cos2θ＋8ρcos θ－2ρ2＝0，即y2＝4x.
即C2的直角坐标方程为y2＝4x.
?x＝m－22t，
(2)将曲线C的参数方程标准化为?
2
y＝2＋t?2
1
(t为参数，m∈R)，代入曲线C2：y2＝4x，
1
得t2＋42t＋4－4m＝0， 2
1
由Δ＝(42)2－4××(4－4m)>0，得m>－3，
2设A，B对应的参数为t1，t2，
由题意得|t1|＝2|t2|，即t1＝2t2或t1＝－2t2， t＝2t，??
当t＝2t时，?t＋t＝－82，
?t＝2?4－4m?，?t·
11
2
1
2
212
23
解得m＝－，满足m>－3；
9t＝－2t，??
当t＝－2t时，?t＋t＝－82，
?t＝2?4－4m??t·
1
2
1
2
1
212
解得m＝33，满足m>－3. 23
综上，m＝－或33.
9
?x＝2＋3cos α，
4.(2019·昆明质检)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?(α为
?y＝3sin α
??x＝tcos β，
参数)，直线l的参数方程为?(t为参数，0≤β<π)，以坐标原点O为极点，x轴的
?y＝tsin β?
正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C的极坐标方程；
(2)已知直线l与曲线C相交于A，B两点，且|OA|－|OB|＝2，求β. 解 (1)由曲线C的参数方程可得普通方程为(x－2)2＋y2＝3， 即x2＋y2－4x＋1＝0，
所以曲线C的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＋1＝0.
(2)由直线l的参数方程可得直线的极坐标方程为θ＝β(ρ∈R,0≤β<π)， 因为直线l与曲线C相交于A，B两点， 所以设A(ρ1，β)，B(ρ2，β)，
2??ρ－4ρcos θ＋1＝0，
联立?可得ρ2－4ρcos β＋1＝0，
??θ＝β，
1因为Δ＝16cos2β－4>0，即cos2β>，
4所以|OA|－|OB|＝|ρ1－ρ2|＝2
解得cos β＝±，
2又0≤β<π， π3π
所以β＝或. 44
5.(2019·保山模拟)在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标
??x＝tcos α，系.⊙O的极坐标方程为ρ＝2，直线l的参数方程为?(t为参数)，直线l与⊙O
?y＝－2＋tsin α?
?ρ1＋ρ2?2－4ρ1ρ2 ＝16cos2β－4＝2，
交于A，B两个不同的点. (1)求倾斜角α的取值范围；
(2)求线段AB中点P的轨迹的参数方程. 解 (1)直线l的倾斜角为α，
π
当α＝时，直线l(即y轴)与⊙O交于A，B两个不同的点，符合题目要求；
2
π
当α≠时，记k＝tan α，
2
??x＝tcos α，
直线l的参数方程? 化为普通方程为kx－y－2＝0，
?y＝－2＋tsin α?
圆心O到直线l的距离d＝
21＋k2
.
因为直线l与⊙O交于不同的两点， 所以2
<2，
1＋k2
解得k>1或k<－1.
π3π?
当k<－1时，直线l的倾斜角α的取值范围是??2，4?； ππ?当k>1时，α的取值范围是??4，2?，
π3π?综上，直线l的倾斜角α的取值范围是??4，4?.
(2)⊙O的极坐标方程为ρ＝2，其直角坐标方程为x2＋y2＝2，
??x＝tcos α，因直线l的参数方程为?(t为参数)，
?y＝－2＋tsin α?
代入x2＋y2＝2中得，t2－4tsin α＋2＝0， 故可设A(t1cos α，－2＋t1sin α)， B(t2cos α，－2＋t2sin α)，
注意到t1 ，t2为方程的根，故t1＋t2＝4sin α， 点P的坐标为?
?t1＋t2?t1＋t2
?，
?2cos α，－2＋2sin α?
即(sin 2α，－1－cos 2α)， 所以点P的轨迹的参数方程为
??x＝sin 2α，?(α为参数). ?y＝－1－cos 2α?
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