江西省师范大学附属中学2015届高三上学期期中考试数学（文）

江西师大附中高三数学（文科）期中考参考答案

一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)．

题号 答案 1 B 2 B 3 C 4 C 5 A 6 C 7 A 8 C 9 B 10 B 11 D 12 D 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 13． ?3

14． 2??3

15． 3n(n?1) 16． (1) (2) (3) 三、解答题（本大题共6小题，共75分） 17．（10分） 解：（1）x|x?0或x?5

??（2）a|a??3或a?5 18．(12分)

解：(1)f(x)?sin(2x?增区间为(k??????36

),k???6)(k?Z)

(2)a?13 12分） 19．（解：（1）证明：取EC中点N，连结MN,BN． 在△EDC中，M,N分别为EC,ED的中点， 所以MN∥CD，且MN?11CD． 由已知AB∥CD，AB?CD， 22所以MN∥AB，且MN?AB． 所以四边形ABNM为平行四边形． 所以BN∥AM．

又因为BN?平面BEC，且AM?平面BEC，所以AM∥平面BEC． （2）在正方形ADEF中，ED?AD．

又因为平面ADEF?平面ABCD，且平面ADEF平面ABCD?AD，

所以ED?平面ABCD． 所以ED?BC． 在直角梯形ABCD中，AB?AD?1，CD?2，可得BC?2．

222 在△BCD中，BD?BC?2,CD?2，所以BD?BC?CD．

所以BC?BD． 所以BC?平面BDE． （3）：BE?平面BDE,所以BC?BE

11 所以S?BCD?BD?BC??2?2?1,

22116S?BCE?BE?BC??2?3?.

222又VE?BCD?VD?BCE，设点D到平面BEC的距离为h.

则

S?DE1116S?BCD?DE??S?BCE?h，所以h??BCD?? 33S?BCE362第 - 5 - 页 共 7 页

所以点D到平面BEC的距离等于20．（ 12分）

6. 3解：(1) 所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.

11

(2)因为四边形PAMB的面积S＝S△PAM＋S△PBM＝|AM|·|PA|＋|BM|·|PB|，

22又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|，所以S＝2|PA|，而|PA|＝|PM|2－|AM|2＝即S＝2

|PM|2－4.因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，

即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，

|3×1＋4×1＋8|

所以|PM|min＝＝3，所以四边形PAMB面积的最小值为

223＋4S＝2

|PM|2min－4＝2

32－4＝25. 21．（ 12分）

解：（1）?an?1?2Sn?2，an?2Sn?1?2（n?2）

?

|PM|2－4，

an?1?an?2(Sn?Sn?1)=2an即

?2a1?2=6

an?1?3(n?2) an? 当n?1,得a2an?a1?qn?1?2?3n?1 即a?2?3n?1

n4?3n?11n?1（2）①an?1?an?(n?1)dn，则dn?，?n?1dn4?3n?1

n?11111234???????(0??2????n?1)3dn4333? d1d2

234n?1? 设Tn???????①

303323n?11234n?1? 则Tn???????②

33132323n21111n?1? ①-②得：Tn?2+???????

3332333n?13n11[1?()n?1]n?13?n=2+3131?3 1531n?115? Tn??(?)?

422?3n?13n411111515?????????dd2dn4416 因此122．（ 12分）

解：（Ⅰ）函数f?x?的定义域为(0,??)，且f?(x)?当a?0时，f?(x)?0，所以f?x?在区间(0,??)单调递增；

1ax?a??2． xx2x当a?0时，由f?(x)?0，解得x?a；由f?(x)?0，解得0?x?a．

第 - 6 - 页 共 7 页

所以f?x?的单调递增区间为(a,??)，单调递减区间为(0,a)． 综上述：a?0时，f?x?的单调递增区间是(0,??)；

a?0时，f?x?的单调递减区间是(0,a)，单调递增区间是(a,??) （Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，当a?0时，f?x?无最小值，不合题意；

当a?0时，[f(x)]min?f(a)?1?a?lna?0.令h(x)?1?x?lnx(x?0)，

11?x，由h?(x)?0，解得0?x?1；由h?(x)?0，解得x?1． ?xx所以h?x?的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,??)．

则h?(x)??1?故[h(x)]max?h(1)?0，即当且仅当x?1时，h?x?=0．因此，a?1． （ⅱ）因为g(x)?xf(x)?xlnx?x?1(x?0)，所以g?(x)?lnx

g(x2)?g(x1)x2lnx2?x1lnx1??1,g?(t)?lnt．

x2?x1x2?x1xlnx2?x1lnx1x依题意，可得kAB?g?(t)，即2?1?lnt．令??2?1，

x1x2?x1xln2x1xlnx2?x1lnx1xlnx2?x2lnx1?1 于是lnt?lnx1?2?1?lnx1?2?1=

x1x2?x1x2?x11?x21ln??(1?)直线AB的斜率kAB?=

1?1?．

?1由（ⅰ）知，当??1时，ln??1??，于是lnt?lnx1?0，即t?x1成立．分

lnx2?lnt?lnx2?(x2lnx2?x1lnx1xlnx1?x1lnx2?1 ?1)?1?1?xx2?x1x2?x12?1x1lnx1x2???1?ln????1?==．

??1??1由（ⅰ）知，当??1时，ln????1，即?ln????1?0，于是lnx2?lnt?0， ln即x2?t成立．综上，x1?t?x2成立．

第 - 7 - 页 共 7 页

1