第1讲等差数列

1.在等差(比)数列中，a1，d(q)，n，an，Sn五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个.解这类问题时，一般是转化为首项a1和公差d(公比q)这两个基本量的有关运算.

2.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.

?S1，n＝1，

3.应用关系式an＝?时，一定要注意分n＝1，n≥2两种情况，在

?Sn－Sn－1，n≥2求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.

a＋c

4.三个数a，b，c成等差数列的充要条件是b＝2，但三个数a，b，c成等比数列的充要条件不是b2＝ac.

一、选择题

1.(2015·焦作模拟)在等差数列{an}中，a1＋3a3＋a15＝10，则a5的值为( ) A.2

B.3

C.4

D.5

解析 设数列{an}的公差为d， ∵a1＋a15＝2a8，∴2a8＋3a3＝10， ∴2(a5＋3d)＋3(a5－2d)＝10， ∴5a5＝10，∴a5＝2. 答案 A

2.(2015·广州模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn，若2S4＝S5＋S6，则数列{an}的公比q的值为( ) A.－2或1

B.－1或2

C.－2

D.1

解析 法一 若q＝1，则S4＝4a1，S5＝5a1，S6＝6a1， 显然不满足2S4＝S5＋S6，故A、D错. 若q＝－1，则S4＝S6＝0，S5＝a5≠0， 不满足条件，故B错，因此选C. 法二 经检验q＝1不适合，

则由2S4＝S5＋S6，

得2(1－q4)＝1－q5＋1－q6，化简得 q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)，q＝－2. 答案 C

3.已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为( ) A.－110

B.－90

C.90

D.110

解析 ∵a3＝a1＋2d＝a1－4，a7＝a1＋6d＝a1－12，a9＝a1＋8d＝a1－16， 又∵a7是a3与a9的等比中项，

∴(a1－12)2＝(a1－4)·(a1－16)，解得a1＝20. 1

∴S10＝10×20＋2×10×9×(－2)＝110. 答案 D

4.(2014·新课标全国Ⅱ卷)等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn等于( ) A.n(n＋1) n（n＋1）C. 2

B.n(n－1) D.

n（n－1）

2

解析 由a2，a4，a8成等比数列，得a24＝a2a8， 即(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋14)，∴a1＝2. n（n－1）∴Sn＝2n＋×2

2＝2n＋n2－n＝n(n＋1). 答案 A

5.(2015·福建卷)若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于( ) A.6

B.7

C.8

D.9

解析 由题意知：a＋b＝p，ab＝q，∵p＞0，q＞0，∴a＞0，b＞0.在a，b，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a，b，－2；b，a，－2；－2，a，b；－2，b，a；成等比数列的情况有：a，－2，b；b，－2，a.

?ab＝4，?ab＝4，?a＝4，?a＝1，∴?或?解之得：?或? 2b＝a－22a＝b－2b＝1b＝4.????∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9，故选D. 答案 D 二、填空题

6.(2015·阳泉模拟)若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大.

解析 根据题意知a7＋a8＋a9＝3a8＞0，即a8＞0.又a8＋a9＝a7＋a10＜0，∴a9＜0，∴当n＝8时，{an}的前n项和最大. 答案 8

7.在等比数列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a9＋a11＋a13＋a15＝________. 解析 设等比数列{an}的公比为q，

2

?a1＋a1q＝8，41由已知，得?4解得q＝2. 6

?a1q＋a1q＝4，

?1?2

又a9＋a11＝a1q＋a3q＝(a1＋a3)q＝8×?2?＝2，

??

8

8

8

?1?3

a13＋a15＝a1q＋a3q＝(a1＋a3)q＝8×?2?＝1，

??

12

12

12

所以a9＋a11＋a13＋a15＝2＋1＝3. 答案 3

8.(2015·安徽卷)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于________.

解析 由等比数列性质知a2a3＝a1a4，又a2a3＝8，a1＋a4＝9，所以联立方程?a1a4＝8，?a1＝1，?a1＝8，?解得?或?又数列{an}为递增数列，∴a1＝1，a4＝8，?a1＋a4＝9，?a4＝8?a4＝1，从而a1q3＝8，∴q＝2.

1－2nn∴数列{an}的前n项和为Sn＝＝2－1.

1－2答案 2n－1 三、解答题

9.已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且

{bn－an}为等比数列.

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)求数列{bn}的前n项和.

解 (1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得 a4－a112－3

d＝3＝3＝3，

所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1，2，?). 设等比数列{bn－an}的公比为q，

b4－a420－12

由题意得q3＝＝＝8，解得q＝2.

b1－a14－3所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1. 从而bn＝3n＋2n－1(n＝1，2，?). (2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n＝1，2，?). 3

数列{3n}的前n项和为2n(n＋1)， 数列{2

n－1

1－2nn

}的前n项和为＝2－1.

1－2

3

所以数列{bn}的前n项和为2n(n＋1)＋2n－1.

10.(2015·洛阳模拟)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式；

?5?

(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列?Sn＋4?是等比数列.

?

?

(1)解 设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d. 依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15. 解得a＝5.

所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d，10，18＋d. 依题意，有(7－d)(18＋d)＝100， 解得d＝2或d＝－13(舍去). 故{bn}的第3项为5，公比为2. 由b3＝b1·22，即5＝b1·22，