弗兰登塔尔

事实上恰好相反.以几何为例:M. Klein已经在爱尔兰根纲领中给出了几何的层次结构:拓扑的,投影的,仿射的和欧几里德的.用弗兰登塔尔的话说这就是一个由\贫乏\到\丰富\的结构.因为任何人都会同意,儿童对几何的认识是从画不规则的圆开始的.如果根据皮亚杰的观点,这个例子就已经足够证明儿童的几何知识发展是从拓扑结构开始的.既然儿童差不多都可以在标准的圆和其它不那么标准的圆之间作出区分,是否意味着小学的现代数学课程就应当从拓扑问题开始呢 弗兰登塔尔对皮亚杰认知结构理论的质疑是有力的.同时对皮亚杰的研究也使弗兰登塔尔自己更加清楚的意识到,\对数学教育应该采用更为实践的目光,而不是以过于理论的方式.\ 懂数学的人大概都会认同弗兰登塔尔的观点,因为他的质疑有些象\理发师悖论\朴素且无可辩驳.认知结构理论对我国数学教育的影响自不待言,了解弗兰登塔尔的看法,会使我们多几分冷静和少一些盲目. (3)弗兰登塔尔对\新数学\的抵制

60年代初\新数运动\在世界范围内处于高潮,弗兰登塔尔是当时为数不多的反对者之一.之所以如此,主要基于以下两个原因:一是弗兰登塔尔认为,新数运动的倡导者当中,有许多人虽然是著名的数学家,但对教育方面的问题知之不多,其中有的人此前未做过任何数学教育方面的研究工作,由这样的数学家来主导如此重大的数学教育改革运动是不妥的;二是弗兰登塔尔认为,作为\新数学\出发点的诸如:集合,逻辑,关系等等知识内容过于复杂和抽象,不适宜在学校基础教育中引入.长期的数学教育研究实践,使弗兰登塔尔已经能够区别适合中小学生水平的数学知识内容中,什么是\好\的和什么是\坏\的;什么是有用的和什么是无用的;什么是基本的和什么是重复的;什么是经过深思熟虑和什么是含混不清的.他的观点是,学习数学需要思考,而思考需要实践.所以数学课程首先应当让学生知道他们面对的内容是些什么,要留给学生可以思考和可以动手的空间.如果内容本身象\天外来客\般的让人感到无法琢磨,学生就不知道应该怎样做和怎样思考,就会感到茫然和无能为力.\新数学\之所以给人\学过就忘\的感觉,原因就在这里.

那时,受\新数运动\影响,荷兰政府也组建了\数学课程现代化委员会\并开始进行师资培训,打算在中小学引进\新数学\弗兰登塔尔对此明确表示反对.他在写给该委员会主席的信中指出,数学教育现代化与\新数运动\是完全不同的两回事.\,这并不是因为我不喜欢现代数学,而是不喜欢把引进现代数学素材作为第一位的任务,我唯一渴望看到的是数学教育的全面改革….\科学的数学和作为教育的数学的不同功能,弗兰登塔尔作了客观和有说服力的分析,他指出:确实,现代数学是功能强大的.因为仅仅一小块现代数学,就可以解释和说明科学和现实中许多浩繁复杂的现象,经常是几个结构简单的数学公式,就可以给出关系国计民生大计的处理问题模式,而且越是高

度抽象的现代数学,其应用领域就越广泛.但这些只表现了现代数学的一个方面.另一方面,抽象就意味着远离现实,数学的系统化,抽象化程度越高,数学离现实情景就越遥远.数学家往往认为,现代数学的力量就体现在它可以脱离产生自己的现实情景而独立存在这一点上.而学校教育应该如何处理系统化与现实之间的关系呢 学校里到底是应该讲授那些作为最终结果的抽象数学结构 还是讲授从丰富的现实情景中抽象出这些结构的数学发现过程 \新数运动\主张的是前者,弗兰登塔尔认为后者才是数学教育的真正目的.因为\的这种功能,但我这里所说的学习是指学习形成这种系统化的数学活动过程,而不是系统化的最后结果.因为系统化的最后结果是一个系统,是一个漂亮的封闭的系统,封闭到没有入口和出口…….学生所要学习的不是作为一个封闭系统的数学,而是作为一项人类活动的数学,即从现实生活出发的数学化过程.如果需要也可以包括从数学本身出发的数学化过程…….\\新数学\的内容是一些经过精心组织的,条理清晰的数学结构,因为这样组织起来的内容便于向学生脑子里嵌入成套的数学结构和逻辑的思考方法.所以对\新数学\来说只能采用\灌输\式的教学方式,学生的参与也只能是被动的.这是一种类似于把学生训练成计算机的教育模式,即学生只能被动的执行程序,缺少留给他们自己发挥主动性和创造性的空间.其结果,不仅在计算方面人无法与计算机相比,相反却极大的抑制了学生主动性和创造性的发展.基于此,弗兰登塔尔强调指出,数学教育不能从已经是最终结果的那些完美的数学系统开始,不能采用向学生硬性嵌入一些远离现实生活的抽象数学结构的方式进行.他认为,即使是儿童,也已经具有某种\潜在的发现能力\他们的思维和行为方式已经具备了某些教师甚至研究人员的特征,让他们重复人类数学发现的活动是完全可能的.数学教育应当从发展这种潜能出发,从学生熟悉的现实生活开始,沿着人类数学发现的活动轨迹,从生活上的问题到数学问题,从具体问题到抽象概念,从特殊关系到一般规则,逐步让学生通过自己的发现去学习数学,获取知识. 使学生头脑中已有的那些非正规的数学知识和数学思维上升发展为科学的结论,实现数学的\再发现\

弗兰登塔尔针对\新数运动\提出的观点,在弗兰登塔尔第一部重要的数学教育著作《作为教育任务的数学》(1973)中进行了系统的归纳和阐述. 在\新数运动\这样的重大事件面前,弗兰登塔尔没有盲目附合,而是采取一种冷静和客观的分析态度,他对\新数运动\的分析和评价,后来一一被实践所验证.弗兰登塔尔的看法以及他个人在数学教育领域的巨大影响力,使荷兰最终抵制了\新数学\不仅免受\新数运动\的折腾,而且保持了本国数学教育改革的平稳发展.这种情形在当时的欧洲和整个世界是不多见的. 上面几个片段,在一定程度上反映了弗兰登塔尔从事数学教育研究的态度.在\新数运动\这样的重大事件面前,对布卢姆,皮亚杰这样\大家\的

观点,弗兰登塔尔不是盲目符合,而是首先持一种分析的态度,投以一种探究的目光.弗兰登塔尔的观点也许有可供商榷之处,但他那种孜孜以求,不断探索的科学精神,是值得我们借鉴和深思的.弗兰登塔尔之所以能够成为国际著名的数学教育家,大概可以从这里找到一些原因吧.

(4)弗兰登塔尔亲手缔造了世界著名的弗兰登塔尔研究所.

弗兰登塔尔研究所(Freudenthal Inst)的前身是成立于1971年的荷兰\数学教育发展研究所\简称IOWO.1981年,IOWO归属于荷兰乌特勒之大学,作为一个系级研究所与数学系与计算机系一起组成乌特勒之大学数学和信息科学学院,并更名为\数学与计算机教育中心\简称OW&OC.1990年弗兰登塔尔先生逝世后,为纪念这位数学教育研究的先驱者,该研究所从1992年更名为弗兰登塔尔研究所.简称FI.这是一个以数学课程发展研究为主,兼及计算机和其它科学学科课程研究的综合性数学课程研究所,弗兰登塔尔先生提出的数学教育思想----现实的数学教育,是该所一切研究工作的理论和实践基础.

FI现有专职研究人员近30人,其中包括数学,计算机科学,物理学,心理学和师资培训,教育学研究方面的专家,另外数学系和计算机系的许多研究人员都兼做FI的研究工作.在荷兰国内和世界其它国家还有许多专家,学者参与FI的研究项目,以FI为主导,形成了一个很大的数学教育研究网络,荷兰教育部也与FI有着密切的联系.

在荷兰,FI的工作对荷兰的中小学数学课程有着举足轻重的影响.目前80以上的荷兰中小学生正在使用根据FI的研究成果编写或直接由FI研究人员编写的数学课本.

在国际上,FI主持和参与了许多关于数学课程发展的研究项目,目前FI正在与美国,西班牙,阿根廷,奥地利,南非,波利维亚等国合作开展这方面的研究工作,合作范围包括:数学课程设计,数学教材及其教学参考书的编写,师资培训,新教育技术特别是计算机辅助教育技术的开发与推广,数学教育基本理论,数学教育评价等许多方面.与FI有合作关系的国家已达50多个.我国已经与FI建立了联系,但目前尚无具体的合作项目. 3.弗兰登塔尔的数学课程观

弗兰登塔尔对数学课程和数学课程发展的看法可以归结为以下两个基本方面:

(1)数学在本质上是一项人类活动,通过数学课程让学生重复人类数学发现的过程是可能的

\数学是一项人类活动\是著名数学家布劳威的名言..弗兰登塔尔是布劳威尔的学生,并于1930年担任了布劳威尔的助教.弗兰登塔尔继承了布劳威尔的观点,并把这一观点引入数学教育领域.\数学教育需要发展,应以一种新的观点来认识作为教育的数学和数学学习.归根到底,数学是一项人类活动,所以作为教育的数学也要作为一项人类活动来看待.\学校中的数学

不是那些封闭的系统,而是作为一项人类活动的数学,是从现实生活开始的数学化过程…….\\潜在的发现能力\他们本身的思维和行为方式已经具备了教师甚至研究人员的特征,在他们身上实现重复人类数学发现的活动是可能的.数学教育应当发展这种潜能,使学生头脑中已有的那些非正规的数学知识和数学思维上升发展为科学的结论,实现数学的\再发现\根据这样的观点,数学教育不能从已经是最终结果的那些完美的数学系统开始,不能采用向学生硬性嵌入一些远离现实生活的抽象数学结构的方式进行.数学教育应当从学生熟悉的现实生活开始,沿着数学发现的活动轨迹,从生活上的问题到数学问题,从具体问题到抽象概念,从特殊关系到一般规则,逐步通过学生自己的发现去学习数学,获取知识得到抽象化的数学知识之后,再把它们应用到新的现实问题上去.按照这样的途径发展,数学课程就能够地沟通生活中的数学与课堂上数学的联系,有益于学生理解数学,热爱数学和使数学成为他们生活中有用的本领.数学课程,应当是引导学生重复人类数学发现的过程,实现数学再发现和再创造的过程的课程. (2)数学课程应当从学生熟悉的现实生活开始和结束.

根据弗兰登塔尔的观点,数学课程不能从已经是最终结果的那些完美的数学系统开始,不能采用向学生硬性嵌入一些远离现实生活的抽象数学结构的方式进行.数学课程应当从学生熟悉的现实生活开始,沿着数学发现过程中人类的活动轨迹,从生活中的问题到数学问题,从具体问题到抽象概念,从特殊关系到一般规则,逐步通过学生自己的发现去学习数学,获取知识.得到抽象化的数学知识之后,再及时把它们应用到新的现实问题上去.按照这样的途径发展,数学教育才能较好地沟通生活中的数学与课堂上数学的联系,才能有益于学生理解数学,热爱数学和使数学成为生活中有用的本领.

弗兰登塔尔倡导的这种数学课程经过三十年来荷兰几代数学教育工作者的探索和实践,得以不断丰富,完善和发展,形成了今天的富有特色的荷兰现实数学课程. 4.荷兰现实数学课程的特征

弗兰登塔尔的数学课程观在实践中不断丰富,完善和发展,形成了今天富有特色的荷兰现实数学课程.现实数学课程有如下五个基本特征: a. 运用情景问题; b. 采用模式;

c. 学生自己得出的结论和创造是课程内容的一部分; d. 教学过程重在交流;

e. 不同数学内容相互交织在一起.

上述特征包括了数学教学和学习两个方面,弗兰登塔尔的数学课程观通过这五个方面得以具体体现.其中的两个核心概念是:情景问题,数学化.情景问题解释了数学课程如何从学生熟悉的现实生活开始和结束;数学化